ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 15.6 Мордкович — Подробные Ответы

Не выполняя построения графиков линейных функций, найдите координаты точки пересечения прямых: а) у = 1,5x — 5 и у = x — 4; б) у = 24x + 5 и y = —24x + 5; в) у = 7 — x и у = 3x — 9; г) у = —16x и у = 9x + 25.

а) \( y = 1{,}5x — 5 \) и \( y = x — 4 \).

Если графики пересекаются, то найдётся такое значение \( x \), которому соответствует одно и то же значение \( y \):
\( 1{,}5x — 5 = x — 4 \)
\( 1{,}5x — x = -4 + 5 \)
\( 0{,}5x = 1 \)
\( x = 2 \).

Тогда:
\( y = x — 4 = 2 — 4 = -2 \).

Таким образом, точка \( (2; -2) \) — точка пересечения прямых.
Ответ: \( (2; -2) \).

б) \( y = 24x + 5 \) и \( y = -24x + 5 \).

Если графики пересекаются, то найдётся такое значение \( x \), которому соответствует одно и то же значение \( y \):
\( 24x + 5 = -24x + 5 \)
\( 24x + 24x = 5 — 5 \)
\( 48x = 0 \)
\( x = 0 \).

Тогда:
\( y = 24x + 5 = 24 \cdot 0 + 5 = 5 \).

Таким образом, точка \( (0; 5) \) — точка пересечения прямых.
Ответ: \( (0; 5) \).

в) \( y = 7 — x \) и \( y = 3x — 9 \).

Если графики пересекаются, то найдётся такое значение \( x \), которому соответствует одно и то же значение \( y \):
\( 7 — x = 3x — 9 \)
\( -x — 3x = -9 — 7 \)
\( -4x = -16 \)
\( x = 4 \).

Тогда:
\( y = 7 — x = 7 — 4 = 3 \).

Таким образом, точка \( (4; 3) \) — точка пересечения прямых.
Ответ: \( (4; 3) \).

г) \( y = -16x \) и \( y = 9x + 25 \).

Если графики пересекаются, то найдётся такое значение \( x \), которому соответствует одно и то же значение \( y \):
\( -16x = 9x + 25 \)
\( -16x — 9x = 25 \)
\( -25x = 25 \)
\( x = -1 \).

Тогда:
\( y = -16x = -16 \cdot (-1) = 16 \).

Таким образом, точка \( (-1; 16) \) — точка пересечения прямых.
Ответ: \( (-1; 16) \).

Для нахождения точки пересечения двух прямых, заданных уравнениями вида \( y = kx + m \), необходимо решить систему из этих уравнений.
Графики пересекаются в той точке, где значения переменной \( y \) при одном и том же \( x \) совпадают.
Это достигается приравниванием правых частей уравнений и решении полученного линейного уравнения относительно \( x \), после чего находится соответствующее значение \( y \).

а) Прямые: \( y = 1{,}5x — 5 \) и \( y = x — 4 \)

Приравняем правые части:
\( 1{,}5x — 5 = x — 4 \)

Перенесём все слагаемые с \( x \) в левую часть, числа — в правую:
\( 1{,}5x — x = -4 + 5 \)

Выполним вычисления:
\( 0{,}5x = 1 \)

Разделим обе части на \( 0{,}5 \):
\( x = \frac{1}{0{,}5} = 2 \)

Подставим найденное значение \( x = 2 \) в любое из исходных уравнений, например, во второе:
\( y = 2 — 4 = -2 \)

Таким образом, графики пересекаются в точке:
\( (2; -2) \)

Ответ: \( (2; -2) \)

б) Прямые: \( y = 24x + 5 \) и \( y = -24x + 5 \)

Приравняем правые части:
\( 24x + 5 = -24x + 5 \)

Перенесём слагаемые:
\( 24x + 24x = 5 — 5 \)

Упростим:
\( 48x = 0 \)

Разделим на 48:
\( x = 0 \)

Найдём \( y \), подставив \( x = 0 \) в первое уравнение:
\( y = 24 \cdot 0 + 5 = 5 \)

Точка пересечения:
\( (0; 5) \)

Ответ: \( (0; 5) \)

в) Прямые: \( y = 7 — x \) и \( y = 3x — 9 \)

Приравняем:
\( 7 — x = 3x — 9 \)

Перенесём \( x \)-члены в одну сторону, числа — в другую:
\( -x — 3x = -9 — 7 \)

Упростим:
\( -4x = -16 \)

Разделим обе части на \( -4 \):
\( x = 4 \)

Найдём \( y \):
\( y = 7 — 4 = 3 \)

Точка пересечения:
\( (4; 3) \)

Ответ: \( (4; 3) \)

г) Прямые: \( y = -16x \) и \( y = 9x + 25 \)

Приравняем:
\( -16x = 9x + 25 \)

Перенесём все \( x \)-члены в левую часть:
\( -16x — 9x = 25 \)

Упростим:
\( -25x = 25 \)

Разделим на \( -25 \):
\( x = -1 \)

Найдём \( y \):
\( y = -16 \cdot (-1) = 16 \)

Точка пересечения:
\( (-1; 16) \)

Ответ: \( (-1; 16) \)

Вывод:
Во всех случаях прямые имеют разные угловые коэффициенты (\( k_1 \neq k_2 \)), поэтому они обязательно пересекаются в единственной точке.
Найденные координаты подтверждены подстановкой и соответствуют условиям задачи.