ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 15.8 Мордкович — Подробные Ответы

Задайте аналитически линейную функцию, график которой параллелен данной прямой и проходит через заданную точку:

а) \( y = 4x + 1 \)

б) \( y = -2{,}5x + \frac{9}{2} \)

в) \( y = -\frac{1}{3}x — 3 \)

г) \( y = 3x + 1 \)

а) Прямой \( y = 4x \) параллельна прямая \( y = 4x + m \).
Так как прямая \( y = 4x + m \) проходит через точку \( A(0; 1) \), то:
\( 1 = 4 \cdot 0 + m \Longrightarrow m = 1 \).
Таким образом: \( y = 4x + 1 \).
Ответ: \( y = 4x + 1 \).

б) Прямой \( 2{,}5x + y = 0 \Longrightarrow y = -2{,}5x \) параллельна прямая \( y = -2{,}5x + m \).
Так как прямая \( y = -2{,}5x + m \) проходит через точку \( C(4; -1) \), то:
\( -1 = -2{,}5 \cdot 4 + m \)
\( -1 = -10 + m \)
\( m = -1 + 10 \)
\( m = 9 \).
Таким образом: \( y = -2{,}5x + 9 \).
Ответ: \( y = -2{,}5x + 9 \).

в) Прямой \( y = -\frac{1}{3}x \) параллельна прямая \( y = -\frac{1}{3}x + m \).
Так как прямая \( y = -\frac{1}{3}x + m \) проходит через точку \( B(0; -3) \), то:
\( -3 = -\frac{1}{3} \cdot 0 + m \Longrightarrow m = -3 \).
Таким образом: \( y = -\frac{1}{3}x — 3 \).
Ответ: \( y = -\frac{1}{3}x — 3 \).

г) Прямой \( y — 3x = 0 \Longrightarrow y = 3x \) параллельна прямая \( y = 3x + m \).
Так как прямая \( y = 3x + m \) проходит через точку \( D(-1; -2) \), то:
\( -2 = 3 \cdot (-1) + m \)
\( -2 = -3 + m \)
\( m = -2 + 3 \)
\( m = 1 \).
Таким образом: \( y = 3x + 1 \).
Ответ: \( y = 3x + 1 \).

Чтобы найти уравнение прямой, параллельной данной и проходящей через заданную точку, нужно:

1. Определить угловой коэффициент \( k \) из уравнения исходной прямой.
2. Записать уравнение параллельной прямой в виде \( y = kx + m \), где \( m \) — неизвестный свободный член.
3. Подставить координаты заданной точки в это уравнение и найти \( m \).
4. Записать окончательное уравнение.

Параллельные прямые имеют одинаковый угловой коэффициент, но разные значения при \( x = 0 \).

а) Прямая: \( y = 4x \)

Угловой коэффициент: \( k = 4 \)

Значит, искомая прямая имеет вид:
\( y = 4x + m \)

Известно, что она проходит через точку \( A(0; 1) \).
Подставим координаты точки в уравнение:
\( 1 = 4 \cdot 0 + m \)
\( 1 = m \)

Следовательно, \( m = 1 \)

Окончательное уравнение:
\( y = 4x + 1 \)

Эта прямая параллельна исходной, так как наклон одинаковый, но сдвинута по оси \( Oy \) на 1 единицу вверх.

Ответ: \( y = 4x + 1 \)

б) Прямая: \( 2{,}5x + y = 0 \)

Приведём к стандартному виду:
\( y = -2{,}5x \)

Угловой коэффициент: \( k = -2{,}5 \)

Значит, искомая прямая:
\( y = -2{,}5x + m \)

Она проходит через точку \( C(4; -1) \).
Подставим \( x = 4 \), \( y = -1 \):
\( -1 = -2{,}5 \cdot 4 + m \)
\( -1 = -10 + m \)
\( m = -1 + 10 = 9 \)

Следовательно, уравнение прямой:
\( y = -2{,}5x + 9 \)

Проверка:
при \( x = 4 \): \( y = -2{,}5 \cdot 4 + 9 = -10 + 9 = -1 \) — верно

Ответ: \( y = -2{,}5x + 9 \)

в) Прямая: \( y = -\frac{1}{3}x \)

Угловой коэффициент: \( k = -\frac{1}{3} \)

Искомая прямая:
\( y = -\frac{1}{3}x + m \)

Проходит через точку \( B(0; -3) \).
Подставим \( x = 0 \), \( y = -3 \):
\( -3 = -\frac{1}{3} \cdot 0 + m \)
\( m = -3 \)

Таким образом, уравнение:
\( y = -\frac{1}{3}x — 3 \)

График — прямая, параллельная исходной, сдвинутая вниз на 3 единицы.

Ответ: \( y = -\frac{1}{3}x — 3 \)

г) Прямая: \( y — 3x = 0 \)

Преобразуем:
\( y = 3x \)

Угловой коэффициент: \( k = 3 \)

Искомая прямая:
\( y = 3x + m \)

Проходит через точку \( D(-1; -2) \).
Подставим \( x = -1 \), \( y = -2 \):
\( -2 = 3 \cdot (-1) + m \)
\( -2 = -3 + m \)
\( m = -2 + 3 = 1 \)

Следовательно, уравнение:
\( y = 3x + 1 \)

Проверка: при \( x = -1 \): \( y = 3 \cdot (-1) + 1 = -3 + 1 = -2 \) — верно

Ответ: \( y = 3x + 1 \)

Вывод:
Во всех случаях использовано свойство параллельных прямых — равенство угловых коэффициентов.
Свободный член \( m \) находился подстановкой координат заданной точки в уравнение.
Все найденные прямые действительно параллельны исходным и проходят через указанные точки.