ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 15.9 Мордкович — Подробные Ответы

Задайте аналитически линейную функцию, график которой параллелен данной прямой и проходит через заданную точку: а) у = 2x — 4, М(1; 5); б) 3x + у = -1, N(—2; 1); в) 2у — 6x + 3 = 0, H(0; 2); г) у = 6 — x, K(-3; 7);  д) x — у = 3, L(-l; 1);  е) x + 0,2y — 1 = 0, Р(3; 0).

а) Прямой \( y = 2x — 4 \) параллельна прямая \( y = 2x + m \).
Так как прямая \( y = 2x + m \) проходит через точку \( M(1; 5) \), то:
\( 5 = 2 \cdot 1 + m \)
\( 5 = 2 + m \)
\( m = 5 — 2 \)
\( m = 3 \).
Таким образом: \( y = 2x + 3 \).
Ответ: \( y = 2x + 3 \).

б) Прямой \( 3x + y = -1 \Longrightarrow y = -3x — 1 \) параллельна прямая \( y = -3x + m \).
Так как прямая \( y = -3x + m \) проходит через точку \( N(-2; 1) \), то:
\( 1 = -3 \cdot (-2) + m \)
\( 1 = 6 + m \)
\( m = 1 — 6 \)
\( m = -5 \).
Таким образом: \( y = -3x — 5 \).
Ответ: \( y = -3x — 5 \).

в) Прямой \( 2y — 6x + 3 = 0 \Longrightarrow 2y = 6x — 3 \Longrightarrow y = 3x — 1{,}5 \) параллельна прямая \( y = 3x + m \).
Так как прямая \( y = 3x + m \) проходит через точку \( H(0; 2) \), то:
\( 2 = 3 \cdot 0 + m \Longrightarrow m = 2 \).
Таким образом: \( y = 3x + 2 \).
Ответ: \( y = 3x + 2 \).

г) Прямой \( y = 6 — x \) параллельна прямая \( y = -x + m \).
Так как прямая \( y = -x + m \) проходит через точку \( K(-3; 7) \), то:
\( 7 = -(-3) + m \)
\( 7 = 3 + m \)
\( m = 7 — 3 \)
\( m = 4 \).
Таким образом: \( y = -x + 4 \).
Ответ: \( y = -x + 4 \).

д) Прямой \( x — y = 3 \Longrightarrow y = x — 3 \) параллельна прямая \( y = x + m \).
Так как прямая \( y = x + m \) проходит через точку \( L(-1; 1) \), то:
\( 1 = -1 + m \)
\( m = 1 + 1 \)
\( m = 2 \).
Таким образом: \( y = x + 2 \).
Ответ: \( y = x + 2 \).

е) Прямой \( x + 0{,}2y — 1 = 0 \Longrightarrow 0{,}2y = 1 — x \Longrightarrow y = 5 — 5x \) параллельна прямая \( y = -5x + m \).
Так как прямая \( y = -5x + m \) проходит через точку \( P(3; 0) \), то:
\( 0 = -5 \cdot 3 + m \)
\( 0 = -15 + m \)
\( m = 15 \).
Таким образом: \( y = -5x + 15 \).
Ответ: \( y = -5x + 15 \).

Чтобы найти уравнение прямой, параллельной данной и проходящей через заданную точку, следует:

1. Привести уравнение исходной прямой к виду \( y = kx + m \), чтобы определить её угловой коэффициент \( k \).
2. Записать уравнение искомой прямой в виде \( y = kx + m \), где \( k \) — тот же, что у исходной прямой.
3. Подставить координаты заданной точки в это уравнение и найти значение \( m \).
4. Записать окончательное уравнение.

Параллельные прямые не пересекаются и имеют одинаковый наклон, но разные точки пересечения с осью \( Oy \).

а) Прямая: \( y = 2x — 4 \)

Угловой коэффициент: \( k = 2 \)

Искомая прямая: \( y = 2x + m \)

Проходит через точку \( M(1; 5) \). Подставим \( x = 1 \), \( y = 5 \):
\( 5 = 2 \cdot 1 + m \)
\( 5 = 2 + m \)
\( m = 5 — 2 = 3 \)

Получаем уравнение:
\( y = 2x + 3 \)

Проверка: при \( x = 1 \): \( y = 2 \cdot 1 + 3 = 5 \) — верно.

Ответ: \( y = 2x + 3 \)

б) Прямая: \( 3x + y = -1 \)

Приведём к виду \( y = kx + m \):
\( y = -3x — 1 \)

Угловой коэффициент: \( k = -3 \)

Искомая прямая: \( y = -3x + m \)

Проходит через точку \( N(-2; 1) \). Подставим \( x = -2 \), \( y = 1 \):
\( 1 = -3 \cdot (-2) + m \)
\( 1 = 6 + m \)
\( m = 1 — 6 = -5 \)

Уравнение:
\( y = -3x — 5 \)

Проверка: \( x = -2 \Rightarrow y = -3 \cdot (-2) — 5 = 6 — 5 = 1 \) — верно.

Ответ: \( y = -3x — 5 \)

в) Прямая: \( 2y — 6x + 3 = 0 \)

Решим относительно \( y \):
\( 2y = 6x — 3 \)
\( y = 3x — 1{,}5 \)

Угловой коэффициент: \( k = 3 \)

Искомая прямая: \( y = 3x + m \)

Проходит через точку \( H(0; 2) \). Подставим \( x = 0 \), \( y = 2 \):
\( 2 = 3 \cdot 0 + m \)
\( m = 2 \)

Уравнение:
\( y = 3x + 2 \)

Проверка: при \( x = 0 \): \( y = 2 \) — верно.

Ответ: \( y = 3x + 2 \)

г) Прямая: \( y = 6 — x \)

Перепишем: \( y = -x + 6 \)

Угловой коэффициент: \( k = -1 \)

Искомая прямая: \( y = -x + m \)

Проходит через точку \( K(-3; 7) \). Подставим \( x = -3 \), \( y = 7 \):
\( 7 = -(-3) + m \)
\( 7 = 3 + m \)
\( m = 7 — 3 = 4 \)

Уравнение:
\( y = -x + 4 \)

Проверка: \( x = -3 \Rightarrow y = -(-3) + 4 = 3 + 4 = 7 \) — верно.

Ответ: \( y = -x + 4 \)

д) Прямая: \( x — y = 3 \)

Преобразуем: \( y = x — 3 \)

Угловой коэффициент: \( k = 1 \)

Искомая прямая: \( y = x + m \)

Проходит через точку \( L(-1; 1) \). Подставим \( x = -1 \), \( y = 1 \):
\( 1 = -1 + m \)
\( m = 1 + 1 = 2 \)

Уравнение:
\( y = x + 2 \)

Проверка: \( x = -1 \Rightarrow y = -1 + 2 = 1 \) — верно.

Ответ: \( y = x + 2 \)

е) Прямая: \( x + 0{,}2y — 1 = 0 \)

Решим относительно \( y \):
\( 0{,}2y = 1 — x \)
\( y = \frac{1}{0{,}2} — \frac{x}{0{,}2} = 5 — 5x \), то есть \( y = -5x + 5 \)

Угловой коэффициент: \( k = -5 \)

Искомая прямая: \( y = -5x + m \)

Проходит через точку \( P(3; 0) \). Подставим \( x = 3 \), \( y = 0 \):
\( 0 = -5 \cdot 3 + m \)
\( 0 = -15 + m \)
\( m = 15 \)

Уравнение:
\( y = -5x + 15 \)

Проверка: \( x = 3 \Rightarrow y = -5 \cdot 3 + 15 = -15 + 15 = 0 \) — верно.

Ответ: \( y = -5x + 15 \)