ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 17.16 Мордкович — Подробные Ответы

Решите систему уравнений с тремя переменными: а) {x + 2y + z = 0; 2x — y — z = 1; 2x + y + 2z = 6}; б) {-2x + y — z = -7; x — 2y + z = 7; 2x + 2y — 3z = -3}; в) {x — y + z = -4; -x + 2y + z = 3; 2x + y — 2z = -1}; г) {x — 2y + 3z = -1; -x + 2y + 2z = 11; 2x + y — 3z = -5}.

а. Система уравнений

Уравнения:
1. \( x + 2y + z = 0 \)
2. \( 2x — y — z = 1 \)
3. \( 2x + y + 2z = 6 \)

Решение:
— Из первого уравнения: \( x = -2y — z \).
— Подставляем в остальные уравнения:

Для второго:
\[
-4y — 2z — y — z = 1 > -5y — 3z = 1
\]

Для третьего:
\[
-4y — 2z + y + 2z = 6 > -3y = 6 > y = -2
\]

— Подставляем \( y = -2 \) в \( -5y — 3z = 1 \):
\[
10 — 3z = 1 > 3z = 9 > z = 3
\]

— Подставляем \( y \) и \( z \) в \( x = -2y — z \):
\[
x = -2(-2) — 3 = 1
\]

Ответ: \( x = 1, y = -2, z = 3 \).

б. Выразим \( y \) через \( x \) и \( z \)

Первое уравнение:
\[
y = 2x + z — 7
\]

Подставляем в второе уравнение:
\[
x — 4x — 2z + 14 + z = 7 > -3x — z = -7 > z = -3x + 7
\]

Подставляем \( z \) в \( y \):
\[
y = -x
\]

Подставляем \( y \) и \( z \) в третье уравнение:
\[
2x — 2x + 9x — 21 = -3 > 9x = 18 > x = 2
\]

Ответ: \( x = 2, y = -2, z = 1 \).

в. Выразим \( y \) через \( x \) и \( z \)

Первое уравнение:
\[
y = x + z + 4
\]

Подставляем в третье уравнение:
\[
3x — z = -5 > z = 3x + 5
\]

Подставляем \( z \) в \( y \):
\[
y = 4x + 9
\]

Подставляем \( y \) и \( z \) во второе уравнение:
\[
10x = -20 > x = -2
\]

Ответ: \( x = -2, y = 1, z = -1 \).

г. Выразим \( x \) через \( y \) и \( z \)

Первое уравнение:
\[
x = 2y — 3z — 1
\]

Подставляем в второе уравнение:
\[
5z = 10 > z = 2
\]

Подставляем \( z \) в \( x \):
\[
x = 2y — 7
\]

Подставляем \( x \) и \( z \) в третье уравнение:
\[
5y = 15 > y = 3
\]

Ответ: \( x = -1, y = 3, z = 2 \).

а)Система уравнений:
x + 2y + z = 0
2x — y — z = 1
2x + y + 2z = 6

Решение:
1. Из первого уравнения выразим x: x = -2y — z
2. Подставим это выражение во второе и третье уравнения:
-4y — 2z — y — z = 1
-5y — 3z = 1
2(-2y — z) + y + 2z = 6
-4y — 2z + y + 2z = 6
-3y = 6
y = -2
3. Подставим y = -2 в -5y — 3z = 1:
-5(-2) — 3z = 1
10 — 3z = 1
3z = 9
z = 3
4. Подставим y = -2 и z = 3 в x = -2y — z:
x = -2(-2) — 3 = 4 — 3 = 1

Ответ: x = 1, y = -2, z = 3.

б) Выразим y через x и z из первого уравнения системы:
y = 2x + z — 7

Подставим полученное значение y во второе уравнение системы:
x — 2(2x + z — 7) + z = 7
x — 4x — 2z + 14 + z = 7
-3x — z = 7 — 14
-3x — z = -7

Выразим z из уравнения -3x — z = -7:
z = -3x + 7

Подставим z = -3x + 7 в уравнение y = 2x + z — 7:
y = 2x + (-3x + 7) — 7 = 2x — 3x + 7 — 7 = -x

Подставим полученные значения y и z в третье уравнение системы:
2x + 2 · (-x) — 3 · (-3x + 7) = -3
2x — 2x + 9x — 21 = -3
9x = -3 + 21
9x = 18
x = 2

Подставим x = 2 в уравнения z = -3x + 7 и y = -x:
z = -3 · 2 + 7 = -6 + 7 = 1;
y = -2

Ответ: x = 2, y = -2, z = 1.

в) Выразим y через x и z из первого уравнения системы:
y = x + z + 4

Подставим полученное значение y в третье уравнение системы:
2x + (x + z + 4) — 2z = -1
2x + x + z + 4 — 2z = -1
3x — z = -1 — 4
3x — z = -5
z = 3x + 5

Подставим z = 3x + 5 в уравнение y = x + z + 4:
y = x + (3x + 5) + 4 = x + 3x + 5 + 4 = 4x + 9

Подставим полученные значения y и z во второе уравнение системы:
-x + 2(4x + 9) + (3x + 5) = 3
-x + 8x + 18 + 3x + 5 = 3
10x = 3 — 18 — 5
10x = -20
x = -2

Подставим x = -2 в уравнения z = 3x + 5 и y = 4x + 9:
z = 3 · (-2) + 5 = -6 + 5 = -1;
y = 4 · (-2) + 9 = -8 + 9 = 1.

Ответ: x = -2, y = 1, z = -1.

г) Выразим x через y и z из первого уравнения системы:
x = 2y — 3z — 1

Подставим полученное значение x во второе уравнение системы:
-(2y — 3z — 1) + 2y + 2z = 11
-2y + 3z + 1 + 2y + 2z = 11
5z = 11 — 1
5z = 10
z = 2

Подставим z = 2 в уравнение x = 2y — 3z — 1:
x = 2y — 3 · 2 — 1 = 2y — 6 — 1 = 2y — 7

Подставим полученные значения x и z в третье уравнение системы:
2 · (2y — 7) + y — 3 · 2 = -5
4y — 14 + y — 6 = -5
5y — 20 = -5
5y = -5 + 20
5y = 15
y = 3

Подставим y = 3 в уравнение x = 2y — 7:
x = 2 · 3 — 7 = 6 — 7 = -1

Ответ: x = -1, y = 3, z = 2.