ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 18.14 Мордкович — Подробные Ответы

При каких значениях параметров р и m данная система уравнений имеет бесконечное множество решений? а) {(p — 10)x + y = 5m — 1; (m + 2)x — y = -2(p + 2)}; б) {(5p + 6)x — 2y = m — 1; (2m — 5)x + y = 3p + 8}.

а) \( (p — 10)x + y = 5m — 1 \) \( (m + 2)x — y = -2(p + 2) \) \( (p — 10 + m + 2)x = 5m — 1 — 2p — 4 \) \( (p + m — 8)x = 5m — 2p — 5 \) \( p — 10 = -k(m + 2) \) \( 5m — 1 = -k(-2(p + 2)) \) \( p — 10 = -k(m + 2) \) \( 5m — 1 = 2k(p + 2) \) \( \frac{p — 10}{m + 2} = \frac{5m — 1}{-2(p + 2)} \) \( -2(p — 10)(p + 2) = (5m — 1)(m + 2) \) \( -2(p^2 + 2p — 10p — 20) = 5m^2 + 10m — m — 2 \) \( -2p^2 + 16p + 40 = 5m^2 + 9m — 2 \) \( 2p^2 — 16p + 5m^2 + 9m — 42 = 0 \) \( p + m — 8 = 0 \) \( 5m — 2p — 5 = 0 \) \( p = 8 — m \) \( 5m — 2(8 — m) — 5 = 0 \) \( 5m — 16 + 2m — 5 = 0 \) \( 7m = 21 \) \( m = 3 \) \( p = 8 — 3 = 5 \) \( p = 5, m = 3 \)

б) \( (5p + 6)x — 2y = m — 1 \) \( (2m — 5)x + y = 3p + 8 \) \( (5p + 6)x — 2y = m — 1 \) \( (4m — 10)x + 2y = 6p + 16 \) \( (5p + 6 + 4m — 10)x = m — 1 + 6p + 16 \) \( (5p + 4m — 4)x = 6p + m + 15 \) \( 5p + 6 = -2k(2m — 5) \) \( m — 1 = -2k(3p + 8) \) \( \frac{5p + 6}{2m — 5} = \frac{m — 1}{3p + 8} \) \( (5p + 6)(3p + 8) = (2m — 5)(m — 1) \) \( 15p^2 + 40p + 18p + 48 = 2m^2 — 2m — 5m + 5 \) \( 15p^2 + 58p + 48 = 2m^2 — 7m + 5 \) \( 15p^2 + 58p — 2m^2 + 7m + 43 = 0 \) \( 5p + 4m — 4 = 0 \) \( 6p + m + 15 = 0 \) \( m = -6p — 15 \) \( 5p + 4(-6p — 15) — 4 = 0 \) \( 5p — 24p — 60 — 4 = 0 \) \( -19p = 64 \) \( p = -\frac{64}{19} \) \( m = -6(-\frac{64}{19}) — 15 = \frac{384}{19} — \frac{285}{19} = \frac{99}{19} \) \( p = -\frac{64}{19}, m = \frac{99}{19} \)

Условие: Найти значения параметров \(p\) и \(m\), при которых система уравнений имеет бесконечное множество решений.

Решение: а) \(\begin{cases} (p — 10)x + y = 5m — 1 (m + 2)x — y = -2(p + 2) \end{cases}\)

Сложим уравнения системы: \((p — 10 + m + 2)x = 5m — 1 — 2p — 4\) — сложение уравнений \((p + m — 8)x = 5m — 2p — 5\) — упрощение Для бесконечного множества решений необходимо: \(p + m — 8 = 0\) — условие 1 \(5m — 2p — 5 = 0\) — условие 2 Выразим \(p\) из первого уравнения: \(p = 8 — m\) — выразили \(p\)

Подставим во второе уравнение: \(5m — 2(8 — m) — 5 = 0\) — подстановка \(5m — 16 + 2m — 5 = 0\) — раскрытие скобок \(7m = 21\) — упрощение \(m = 3\) — нашли \(m\) Найдем \(p\): \(p = 8 — 3 = 5\) — нашли \(p\) б) \(\begin{cases} (5p + 6)x — 2y = m — 1 (2m — 5)x + y = 3p + 8 \end{cases}\)

Умножим второе уравнение на 2: \(\begin{cases} (5p + 6)x — 2y = m — 1 (4m — 10)x + 2y = 6p + 16 \end{cases}\) — умножили на 2 Сложим уравнения системы: \((5p + 6 + 4m — 10)x = m — 1 + 6p + 16\) — сложение уравнений \((5p + 4m — 4)x = 6p + m + 15\) — упрощение

Для бесконечного множества решений необходимо: \(5p + 4m — 4 = 0\) — условие 1 \(6p + m + 15 = 0\) — условие 2 Умножим первое уравнение на 6, а второе на 5: \(30p + 24m — 24 = 0\) — умножили на 6 \(30p + 5m + 75 = 0\) — умножили на 5 Вычтем из первого уравнения второе: \(19m — 99 = 0\) — вычитание \(19m = 99\) — упрощение \(m = \frac{99}{19}\) — нашли \(m\)

Найдем \(p\): \(5p = 4 — 4m\) — выразили \(5p\) \(5p = 4 — 4 \cdot \frac{99}{19} = \frac{76 — 396}{19} = \frac{-320}{19}\) — подстановка \(p = \frac{-320}{19 \cdot 5} = \frac{-64}{19}\) — нашли \(p\)  а) \(p = 5\), \(m = 3\) б) \(p = -\frac{64}{19}\), \(m = \frac{99}{19}\)