ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 18.15 Мордкович — Подробные Ответы

Решите систему уравнений с тремя переменными: а) {2x + y + z = 1; -x — y + z = 4; 3x + 2y — z = -5}; б) {2x + 2y — z = 14; x — 2y + 3z = -9; -x + y — z = 2}; в) {x + y + z = 1; x — y — 2z = 2; 2x + y + 2z = 4}; г) {x + 2y — 3z = 1; 2x — y + 3z = 6; 3x — y — z = 4}.

а)
Система:
\[
\begin{cases}
2x + y + z = 1 \\
-x — y + z = 4 \\
3x + 2y — z = -5
\end{cases}
\]

1. \(z = 1 — 2x — y\)
2. Подставляем в уравнения:
— \(-3x — 2y = 3\)
— \(5x + 3y = -4\)

3. Решаем:
— \(x = 1\)
— \(y = -3\)
— \(z = 2\)

Решение: \(x = 1, y = -3, z = 2\)

б)
Система:
\[
\begin{cases}
2x + 2y — z = 14 \\
x — 2y + 3z = -9 \\
-x + y — z = 2
\end{cases}
\]

1. \(z = 2x + 2y — 14\)
2. Подставляем:
— \(7x + 4y = 33\)
— \(3x + y = 12\)

3. Решаем:
— \(x = 3\)
— \(y = 3\)
— \(z = -2\)

Решение: \(x = 3, y = 3, z = -2\)

в)
Система:
\[
\begin{cases}
x + y + z = 1 \\
x — y — 2z = 2 \\
2x + y + 2z = 4
\end{cases}
\]

1. \(z = 1 — x — y\)
2. Подставляем:
— \(3x + y = 4\)
— \(-y + 2 = 4\)

3. Решаем:
— \(x = 2\)
— \(y = -2\)
— \(z = 1\)

Решение: \(x = 2, y = -2, z = 1\)

г)
Система:
\[
\begin{cases}
x + 2y — 3z = 1 \\
2x — y + 3z = 6 \\
3x — y — z = 4
\end{cases}
\]

1. \(z = \frac{x + 2y — 1}{3}\)
2. Подставляем:
— \(3x + y = 7\)
— \(8x — 5y = 11\)

3. Решаем:
— \(x = 2\)
— \(y = 1\)
— \(z = 1\)

Решение: \(x = 2, y = 1, z = 1\)

а)
Система:
\[
\begin{cases}
2x + y + z = 1 \\
-x — y + z = 4 \\
3x + 2y — z = -5
\end{cases}
\]

1. Из первого уравнения выразим \(z\):
\[
z = 1 — 2x — y
\]

2. Подставим \(z\) во второе уравнение:
\[
-x — y + (1 — 2x — y) = 4
\]

Упрощаем:
\[
-3x — 2y + 1 = 4
\]

\[
-3x — 2y = 3
\]

3. Подставим \(z\) в третье уравнение:
\[
3x + 2y — (1 — 2x — y) = -5
\]

Упрощаем:
\[
3x + 2y — 1 + 2x + y = -5
\]

\[
5x + 3y — 1 = -5
\]

\[
5x + 3y = -4
\]

4. Теперь у нас система:
\[
\begin{cases}
-3x — 2y = 3 \\
5x + 3y = -4
\end{cases}
\]

5. Умножим первое уравнение на 3:
\[
-9x — 6y = 9
\]

6. Умножим второе уравнение на 2:
\[
10x + 6y = -8
\]

7. Складываем:
\[
x = 1
\]

8. Подставляем \(x\) в первое уравнение:
\[
-3(1) — 2y = 3
\]

\[
-3 — 2y = 3
\]

\[
-2y = 6
\]

\[
y = -3
\]

9. Подставляем \(x\) и \(y\) в выражение для \(z\):
\[
z = 1 — 2(1) — (-3)
\]

\[
z = 1 — 2 + 3 = 2
\]

Решение: \(x = 1, y = -3, z = 2\)

б)
Система:
\[
\begin{cases}
2x + 2y — z = 14 \\
x — 2y + 3z = -9 \\
-x + y — z = 2
\end{cases}
\]

1. Из первого уравнения выразим \(z\):
\[
z = 2x + 2y — 14
\]

2. Подставим \(z\) во второе уравнение:
\[
x — 2y + 3(2x + 2y — 14) = -9
\]

Упрощаем:
\[
x — 2y + 6x + 6y — 42 = -9
\]

\[
7x + 4y — 42 = -9
\]

\[
7x + 4y = 33
\]

3. Подставим \(z\) в третье уравнение:
\[
-x + y — (2x + 2y — 14) = 2
\]

Упрощаем:
\[
-x + y — 2x — 2y + 14 = 2
\]

\[
-3x — y + 14 = 2
\]

\[
-3x — y = -12
\]

\[
3x + y = 12
\]

4. Теперь у нас система:
\[
\begin{cases}
7x + 4y = 33 \\
3x + y = 12
\end{cases}
\]

5. Умножим второе уравнение на 4:
\[
12x + 4y = 48
\]

6. Вычтем:
\[
(7x + 4y) — (12x + 4y) = 33 — 48
\]

\[
-5x = -15
\]

\[
x = 3
\]

7. Подставляем \(x\) во второе уравнение:
\[
3(3) + y = 12
\]

\[
9 + y = 12
\]

\[
y = 3
\]

8. Подставляем \(x\) и \(y\) в выражение для \(z\):
\[
z = 2(3) + 2(3) — 14
\]

\[
z = 6 + 6 — 14 = -2
\]

Решение: \(x = 3, y = 3, z = -2\)

в)
Система:
\[
\begin{cases}
x + y + z = 1 \\
x — y — 2z = 2 \\
2x + y + 2z = 4
\end{cases}
\]

1. Из первого уравнения выразим \(z\):
\[
z = 1 — x — y
\]

2. Подставим \(z\) во второе уравнение:
\[
x — y — 2(1 — x — y) = 2
\]

Упрощаем:
\[
x — y — 2 + 2x + 2y = 2
\]

\[
3x + y — 2 = 2
\]

\[
3x + y = 4
\]

3. Подставим \(z\) в третье уравнение:
\[
2x + y + 2(1 — x — y) = 4
\]

Упрощаем:
\[
2x + y + 2 — 2x — 2y = 4
\]

\[
-y + 2 = 4
\]

\[
-y = 2
\]

\[
y = -2
\]

4. Подставляем \(y\) в \(3x + y = 4\):
\[
3x — 2 = 4
\]

\[
3x = 6
\]

\[
x = 2
\]

5. Подставляем \(x\) и \(y\) в выражение для \(z\):
\[
z = 1 — 2 — (-2)
\]

\[
z = 1 — 2 + 2 = 1
\]

Решение:\(x = 2, y = -2, z = 1\)

г)
Система:
\[
\begin{cases}
x + 2y — 3z = 1 \\
2x — y + 3z = 6 \\
3x — y — z = 4
\end{cases}
\]

1. Из первого уравнения выразим \(z\):
\[
z = \frac{x + 2y — 1}{3}
\]

2. Подставим \(z\) во второе уравнение:
\[
2x — y + 3\left(\frac{x + 2y — 1}{3}\right) = 6
\]

Упрощаем:
\[
2x — y + x + 2y — 1 = 6
\]

\[
3x + y — 1 = 6
\]

\[
3x + y = 7
\]

3. Подставим \(z\) в третье уравнение:
\[
3x — y — \left(\frac{x + 2y — 1}{3}\right) = 4
\]

Упрощаем:
\[
3x — y — \frac{x + 2y — 1}{3} = 4
\]

Умножаем на 3:
\[
9x — 3y — (x + 2y — 1) = 12
\]

\[
9x — 3y — x — 2y + 1 = 12
\]

\[
8x — 5y + 1 = 12
\]

\[
8x — 5y = 11
\]

4. Теперь у нас система:
\[
\begin{cases}
3x + y = 7 \\
8x — 5y = 11
\end{cases}
\]

5. Выразим \(y\) из первого уравнения:
\[
y = 7 — 3x
\]

6. Подставим \(y\) во второе уравнение:
\[
8x — 5(7 — 3x) = 11
\]

Упрощаем:
\[
8x — 35 + 15x = 11
\]

\[
23x — 35 = 11
\]

\[
23x = 46
\]

\[
x = 2
\]

7. Подставляем \(x\) в выражение для \(y\):
\[
y = 7 — 3(2) = 7 — 6 = 1
\]

8. Подставляем \(x\) и \(y\) в выражение для \(z\):
\[
z = \frac{2 + 2(1) — 1}{3} = \frac{2 + 2 — 1}{3} = \frac{3}{3} = 1
\]

Решение: \(x = 2, y = 1, z = 1\)