ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 18.5 Мордкович — Подробные Ответы

Решите систему уравнений методом алгебраического сложения: а) {8x — 3y = 4; 5x — 2y = 3}; б) {4x — 5y = -11; -7x + 2y = -1}; в) {7x + 3y = 1; 2x + 4y = 5}; г) {2x + 7y = -2; 9x + 4y = 2}; д) {6x + 5y = -4; -5x — 3y = 1}; е) {-3x + 4y = 8; 4x — 3y = -6}.

а)
Система:
\[
\begin{cases}
8x — 3y = 4 \\
5x — 2y = 3
\end{cases}
\]

Умножим второе уравнение на 3:
\[
15x — 6y = 9
\]

Умножим первое уравнение на 2:
\[
16x — 6y = 8
\]

Теперь система:
\[
\begin{cases}
16x — 6y = 8 \\
15x — 6y = 9
\end{cases}
\]

Вычтем второе уравнение из первого:
\[
x = -1
\]

Подставим \(x\) во второе уравнение:
\[
5(-1) — 2y = 3 \\
-5 — 2y = 3 \\
-2y = 8 \\
y = -4
\]

Ответ: \(x = -1, y = -4\)

б)
Система:
\[
\begin{cases}
4x — 5y = -11 \\
-7x + 2y = -1
\end{cases}
\]

Умножим первое уравнение на 2:
\[
8x — 10y = -22
\]

Умножим второе уравнение на 5:
\[
-35x + 10y = -5
\]

Теперь система:
\[
\begin{cases}
8x — 10y = -22 \\
-35x + 10y = -5
\end{cases}
\]

Сложим оба уравнения:
\[
27x = -27 \\
x = 1
\]

Подставим \(x\) в первое уравнение:
\[
4(-1) — 5y = -11 \\
-4 — 5y = -11 \\
-5y = -7 \\
y = 3
\]

Ответ: x = 1, y = 3

в)
Система:
\[
\begin{cases}
7x + 3y = 1 \\
2x + 4y = 5
\end{cases}
\]

Умножим второе уравнение на 3:
\[
6x + 12y = 15
\]

Теперь система:
\[
\begin{cases}
7x + 3y = 1 \\
6x + 12y = 15
\end{cases}
\]

Умножим первое уравнение на 4:
\[
28x + 12y = 4
\]

Теперь система:
\[
\begin{cases}
28x + 12y = 4 \\
6x + 12y = 15
\end{cases}
\]

Вычтем второе уравнение из первого:
\[
(28x + 12y) — (6x + 12y) = 4 — 15 \\
22x = -11 \\
x = -\frac{1}{2}
\]

Подставим \(x\) во второе уравнение:
\[
2(-\frac{1}{2}) + 4y = 5 \\
-1 + 4y = 5 \\
4y = 6 \\
y = \frac{3}{2}
\]

Ответ: \(x = -\frac{1}{2}, y = \frac{3}{2}\)

г)
Система:
\[
\begin{cases}
2x + 7y = -2 \\
9x + 4y = 2
\end{cases}
\]

Умножим первое уравнение на 9:
\[
18x + 63y = -18
\]

Умножим второе уравнение на 2:
\[
18x + 8y = 4
\]

Теперь система:
\[
\begin{cases}
18x + 63y = -18 \\
18x + 8y = 4
\end{cases}
\]

Вычтем второе уравнение из первого:
\[
55y = -22 \\
y = -\frac{2}{5}
\]

Подставим \(y\) во второе уравнение:
\[
9x + 4(-\frac{2}{5}) = 2 \\
9x — \frac{8}{5} = 2 \\
9x = 2 + \frac{8}{5} = \frac{10 + 8}{5} = \frac{18}{5} \\
x = \frac{2}{5}
\]

Ответ: \(x = \frac{2}{5}, y = -\frac{2}{5}\)

д)
Система:
\[
\begin{cases}
6x + 5y = -4 \\
-5x — 3y = 1
\end{cases}
\]

Умножим второе уравнение на 2:
\[
-10x — 6y = 2
\]

Теперь система:
\[
\begin{cases}
6x + 5y = -4 \\
-10x — 6y = 2
\end{cases}
\]

Умножим первое уравнение на 5 и второе на 3:
\[
30x + 25y = -20 \\
-30x — 18y = 6
\]

Теперь система:
\[
\begin{cases}
30x + 25y = -20 \\
-30x — 18y = 6
\end{cases}
\]

Сложим оба уравнения:
\[
7y = -14 \\
y = -2
\]

Подставим \(y\) в первое уравнение:
\[
6x + 5(-2) = -4 \\
6x — 10 = -4 \\
6x = 6 \\
x = 1
\]

Ответ: \(x = 1, y = -2\)

е)
Система:
\[
\begin{cases}
-3x + 4y = 8 \\
4x — 3y = -6
\end{cases}
\]

Умножим первое уравнение на 4:
\[
-12x + 16y = 32
\]

Умножим второе уравнение на 3:
\[
12x — 9y = -18
\]

Теперь система:
\[
\begin{cases}
-12x + 16y = 32 \\
12x — 9y = -18
\end{cases}
\]

Сложим оба уравнения:
\[
7y = 14 \\
y = 2
\]

Подставим \(y\) в первое уравнение:
\[
-3x + 4(2) = 8 \\
-3x + 8 = 8 \\
-3x = 0 \\
x = 0
\]

Ответ: \(x = 0, y = 2\)

а) Система уравнений:
\[
\begin{cases}
8x — 3y = 4 \\
5x — 2y = 3
\end{cases}
\]

1. Умножим второе уравнение на 3:
\[
3(5x — 2y) = 3 \cdot 3 \\
15x — 6y = 9
\]

2. Умножим первое уравнение на 2:
\[
2(8x — 3y) = 2 \cdot 4 \\
16x — 6y = 8
\]

3. Теперь система выглядит так:
\[
\begin{cases}
16x — 6y = 8 \\
15x — 6y = 9
\end{cases}
\]

4. Вычтем второе уравнение из первого:
\[
(16x — 6y) — (15x — 6y) = 8 — 9 \\
x = -1
\]

5. Подставим \(x\) во второе уравнение:
\[
5(-1) — 2y = 3 \\
-5 — 2y = 3 \\
-2y = 8 \\
y = -4
\]

6. Таким образом, окончательный ответ:
\[
x = -1, \quad y = -4
\]

б) Система уравнений:
\[
\begin{cases}
4x — 5y = -11 \\
-7x + 2y = -1
\end{cases}
\]

1. Умножим первое уравнение на 2:
\[
2(4x — 5y) = 2 \cdot -11 \\
8x — 10y = -22
\]

2. Умножим второе уравнение на 5:
\[
5(-7x + 2y) = 5 \cdot -1 \\
-35x + 10y = -5
\]

3. Теперь система выглядит так:
\[
\begin{cases}
8x — 10y = -22 \\
-35x + 10y = -5
\end{cases}
\]

4. Сложим оба уравнения:
\[
(8x — 10y) + (-35x + 10y) = -22 — 5 \\
-27x = -27 \\
x = 1
\]

5. Подставим \(x\) в первое уравнение:
\[
4(1) — 5y = -11 \\
4 — 5y = -11 \\
-5y = -15 \\
y = 3
\]

6. Таким образом, окончательный ответ:
\[
x = 1, \quad y = 3
\]

в) Система уравнений:
\[
\begin{cases}
7x + 3y = 1 \\
2x + 4y = 5
\end{cases}
\]

1. Умножим второе уравнение на 3:
\[
3(2x + 4y) = 3 \cdot 5 \\
6x + 12y = 15
\]

2. Теперь система выглядит так:
\[
\begin{cases}
7x + 3y = 1 \\
6x + 12y = 15
\end{cases}
\]

3. Умножим первое уравнение на 4:
\[
4(7x + 3y) = 4 \cdot 1 \\
28x + 12y = 4
\]

4. Теперь система выглядит так:
\[
\begin{cases}
28x + 12y = 4 \\
6x + 12y = 15
\end{cases}
\]

5. Вычтем второе уравнение из первого:
\[
(28x + 12y) — (6x + 12y) = 4 — 15 \\
22x = -11 \\
x = -\frac{1}{2}
\]

6. Подставим \(x\) во второе уравнение:
\[
2\left(-\frac{1}{2}\right) + 4y = 5 \\
-1 + 4y = 5 \\
4y = 6 \\
y = \frac{3}{2}
\]

7. Таким образом, окончательный ответ:
\[
x = -\frac{1}{2}, \quad y = \frac{3}{2}
\]

г) Система уравнений:
\[
\begin{cases}
2x + 7y = -2 \\
9x + 4y = 2
\end{cases}
\]

1. Умножим первое уравнение на 9:
\[
9(2x + 7y) = 9 \cdot -2 \\
18x + 63y = -18
\]

2. Умножим второе уравнение на 2:
\[
2(9x + 4y) = 2 \cdot 2 \\
18x + 8y = 4
\]

3. Теперь система выглядит так:
\[
\begin{cases}
18x + 63y = -18 \\
18x + 8y = 4
\end{cases}
\]

4. Вычтем второе уравнение из первого:
\[
(18x + 63y) — (18x + 8y) = -18 — 4 \\
55y = -22 \\
y = -\frac{2}{5}
\]

5. Подставим \(y\) во второе уравнение:
\[
9x + 4\left(-\frac{2}{5}\right) = 2 \\
9x — \frac{8}{5} = 2 \\
9x = 2 + \frac{8}{5} = \frac{10 + 8}{5} = \frac{18}{5} \\
x = \frac{2}{5}
\]

6. Таким образом, окончательный ответ:
\[
x = \frac{2}{5}, \quad y = -\frac{2}{5}
\]

д) Система уравнений:
\[
\begin{cases}
6x + 5y = -4 \\
-5x — 3y = 1
\end{cases}
\]

1. Умножим второе уравнение на 2:
\[
2(-5x — 3y) = 2 \cdot 1 \\
-10x — 6y = 2
\]

2. Теперь система выглядит так:
\[
\begin{cases}
6x + 5y = -4 \\
-10x — 6y = 2
\end{cases}
\]

3. Умножим первое уравнение на 5 и второе на 3:
\[
5(6x + 5y) = 5 \cdot -4 \\
30x + 25y = -20
\]
\[
3(-10x — 6y) = 3 \cdot 2 \\
-30x — 18y = 6
\]

4. Теперь система выглядит так:
\[
\begin{cases}
30x + 25y = -20 \\
-30x — 18y = 6
\end{cases}
\]

5. Сложим оба уравнения:
\[
(30x + 25y) + (-30x — 18y) = -20 + 6 \\
7y = -14 \\
y = -2
\]

6. Подставим \(y\) в первое уравнение:
\[
6x + 5(-2) = -4 \\
6x — 10 = -4 \\
6x = 6 \\
x = 1
\]

7. Таким образом, окончательный ответ:
\[
x = 1, \quad y = -2
\]

е) Система уравнений:
\[
\begin{cases}
-3x + 4y = 8 \\
4x — 3y = -6
\end{cases}
\]

1. Умножим первое уравнение на 4:
\[
4(-3x + 4y) = 4 \cdot 8 \\
-12x + 16y = 32
\]

2. Умножим второе уравнение на 3:
\[
3(4x — 3y) = 3 \cdot -6 \\
12x — 9y = -18
\]

3. Теперь система выглядит так:
\[
\begin{cases}
-12x + 16y = 32 \\
12x — 9y = -18
\end{cases}
\]

4. Сложим оба уравнения:
\[
(-12x + 16y) + (12x — 9y) = 32 — 18 \\
7y = 14 \\
y = 2
\]

5. Подставим \(y\) в первое уравнение:
\[
-3x + 4(2) = 8 \\
-3x + 8 = 8 \\
-3x = 0 \\
x = 0
\]

6. Таким образом, окончательный ответ:
\[
x = 0, \quad y = 2
\]