ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 18.6 Мордкович — Подробные Ответы

Решите систему уравнений методом алгебраического сложения: а) {\(\frac{1}{2}\) x — \(\frac{2}{3}\) y = 2; 3x — 2y = -2}; б) {\(\frac{2}{3}\) x + \(\frac{4}{5}\) y = -1; \(\frac{3}{4}\) x — \(\frac{4}{5}\) y = -\(\frac{5}{12}\)}; в) {\(\frac{3}{4}\) x + \(\frac{1}{3}\) y = 3; -5x + 4y = 8}; г) {\(\frac{2}{5}\) x + \(\frac{3}{4}\) y = 5; \(\frac{5}{6}\) x + \(\frac{3}{4}\) y = \(\frac{2}{3}\)}.

а)
Система:
\[
\begin{cases}
\frac{1}{2} x — \frac{2}{3} y = 2 \\
3x — 2y = -2
\end{cases}
\]

Умножим первое уравнение на 6 (LCM 2 и 3):
\[
3x — 4y = 12
\]

Теперь система выглядит так:
\[
\begin{cases}
3x — 4y = 12 \\
3x — 2y = -2
\end{cases}
\]

Вычтем второе уравнение из первого:
\[
(3x — 4y) — (3x — 2y) = 12 + 2 \\
-2y = 14 \\
y = -7
\]

Подставим \(y\) во второе уравнение:
\[
3x — 2(-7) = -2 \\
3x + 14 = -2 \\
3x = -16 \\
x = -\frac{16}{3}
\]

**Ответ:** \(x = -\frac{16}{3}, y = -7\)

б)
Система:
\[
\begin{cases}
\frac{2}{3} x + \frac{4}{5} y = -1 \\
\frac{3}{4} x — \frac{4}{5} y = -\frac{5}{12}
\end{cases}
\]

Умножим первое уравнение на 15:
\[
10x + 12y = -15
\]

Умножим второе уравнение на 20:
\[
15x — 16y = -\frac{25}{3} \quad \text{(умножим на 3 для удобства)}
\]

Теперь система:
\[
\begin{cases}
10x + 12y = -15 \\
15x — 16y = -25
\end{cases}
\]

Умножим первое уравнение на 3 и второе на 2:
\[
\begin{cases}
30x + 36y = -45 \\
30x — 32y = -50
\end{cases}
\]

Вычтем второе из первого:
\[
68y = 5 \\
y = \frac{5}{12}
\]

Подставим \(y\) в первое уравнение:
\[
10x + 12 \cdot \frac{5}{68} = -15 \\
10x + \frac{60}{68} = -15 \\
10x = -15 — \frac{60}{68} \\
10x = -\frac{1020 + 60}{68} \\
10x = -\frac{1080}{68} \\
x = — 1
\]

Ответ: \(x = -1, y = \frac{5}{12}\)

в)
Система:
\[
\begin{cases}
\frac{3}{4} x + \frac{1}{3} y = 3 \\
-5x + 4y = 8
\end{cases}
\]

Умножим первое уравнение на 12:
\[
9x + 4y = 36
\]

Теперь система:
\[
\begin{cases}
9x + 4y = 36 \\
-5x + 4y = 8
\end{cases}
\]

Вычтем второе уравнение из первого:
\[
14x = 28 \\
x = 2
\]

Подставим \(x\) во второе уравнение:
\[
-5(2) + 4y = 8 \\
-10 + 4y = 8 \\
4y = 18 \\
y = \frac{9}{2}
\]

Ответ: \(x = 2, y = \frac{9}{2}\)

г)
Система:
\[
\begin{cases}
\frac{2}{5} x + \frac{3}{4} y = 5 \\
\frac{5}{6} x + \frac{3}{4} y = \frac{2}{3}
\end{cases}
\]

Умножим оба уравнения на 60:
\[
24x + 45y = 300 \\
50x + 45y = 40
\]

Теперь система:
\[
\begin{cases}
24x + 45y = 300 \\
50x + 45y = 40
\end{cases}
\]

Вычтем второе уравнение из первого:
\[
(24x + 45y) — (50x + 45y) = 300 — 40 \\
-26x = 260 \\
x = -10
\]

Подставим \(x\) во второе уравнение:
\[
50(-10) + 45y = 40 \\
-500 + 45y = 40 \\
45y = 540 \\
y = 12
\]

Ответ: \(x = -10, y = 12\)

а) Система уравнений:
\[
\begin{cases}
\frac{1}{2} x — \frac{2}{3} y = 2 \\
3x — 2y = -2
\end{cases}
\]

1. Для удобства работы с дробями, умножим первое уравнение на 6, так как это наименьшее общее кратное (LCM) для 2 и 3:
\[
6 \left(\frac{1}{2} x — \frac{2}{3} y\right) = 6 \cdot 2
\]

Это приводит к:
\[
3x — 4y = 12
\]

2. Теперь система выглядит следующим образом:
\[
\begin{cases}
3x — 4y = 12 \\
3x — 2y = -2
\end{cases}
\]

3. Вычтем второе уравнение из первого:
\[
(3x — 4y) — (3x — 2y) = 12 + 2
\]

Упрощая, получаем:
\[
-2y = 14
\]

4. Найдем \(y\):
\[
y = -7
\]

5. Теперь подставим найденное значение \(y\) во второе уравнение:
\[
3x — 2(-7) = -2
\]

Это приводит к:
\[
3x + 14 = -2
\]

6. Решим для \(x\):
\[
3x = -2 — 14 \\
3x = -16 \\
x = -\frac{16}{3}
\]

7. Таким образом, окончательный ответ:
\[
x = -\frac{16}{3}, \quad y = -7
\]

б) Система уравнений:
\[
\begin{cases}
\frac{2}{3} x + \frac{4}{5} y = -1 \\
\frac{3}{4} x — \frac{4}{5} y = -\frac{5}{12}
\end{cases}
\]

1. Умножим первое уравнение на 15, чтобы избавиться от дробей:
\[
15 \left(\frac{2}{3} x + \frac{4}{5} y\right) = 15 \cdot -1
\]

Это приводит к:
\[
10x + 12y = -15
\]

2. Умножим второе уравнение на 20:
\[
20 \left(\frac{3}{4} x — \frac{4}{5} y\right) = 20 \cdot -\frac{5}{12}
\]

После упрощения получаем:
\[
15x — 16y = -\frac{25}{3}
\]

Умножив на 3 для удобства, мы получаем:
\[
45x — 48y = -25
\]

3. Теперь система уравнений выглядит так:
\[
\begin{cases}
10x + 12y = -15 \\
45x — 48y = -25
\end{cases}
\]

4. Умножим первое уравнение на 3 и второе на 2:
\[
\begin{cases}
30x + 36y = -45 \\
90x — 96y = -50
\end{cases}
\]

5. Вычтем второе уравнение из первого:
\[
(30x + 36y) — (90x — 96y) = -45 + 50
\]

Это приводит к:
\[
68y = 5
\]

6. Найдем \(y\):
\[
y = \frac{5}{68}
\]

7. Подставим найденное значение \(y\) в первое уравнение:
\[
10x + 12 \cdot \frac{5}{68} = -15
\]

Это приводит к:
\[
10x + \frac{60}{68} = -15
\]

Упрощая, получаем:
\[
10x = -15 — \frac{60}{68}
\]

Приведем к общему знаменателю:
\[
10x = -\frac{1020 + 60}{68} \\
10x = -\frac{1080}{68} \\
x = -\frac{1080}{680} \\
x = -1
\]

8. Таким образом, окончательный ответ:
\[
x = -1, \quad y = \frac{5}{12}
\]

в) Система уравнений:
\[
\begin{cases}
\frac{3}{4} x + \frac{1}{3} y = 3 \\
-5x + 4y = 8
\end{cases}
\]

1. Умножим первое уравнение на 12, чтобы избавиться от дробей:
\[
12 \left(\frac{3}{4} x + \frac{1}{3} y\right) = 12 \cdot 3
\]

Это приводит к:
\[
9x + 4y = 36
\]

2. Теперь система выглядит так:
\[
\begin{cases}
9x + 4y = 36 \\
-5x + 4y = 8
\end{cases}
\]

3. Вычтем второе уравнение из первого:
\[
(9x + 4y) — (-5x + 4y) = 36 — 8
\]

Это приводит к:
\[
14x = 28
\]

4. Найдем \(x\):
\[
x = 2
\]

5. Подставим найденное значение \(x\) во второе уравнение:
\[
-5(2) + 4y = 8
\]

Это приводит к:
\[
-10 + 4y = 8
\]

6. Решим для \(y\):
\[
4y = 18 \\
y = \frac{9}{2}
\]

7. Таким образом, окончательный ответ:
\[
x = 2, \quad y = \frac{9}{2}
\]

г) Система уравнений:
\[
\begin{cases}
\frac{2}{5} x + \frac{3}{4} y = 5 \\
\frac{5}{6} x + \frac{3}{4} y = \frac{2}{3}
\end{cases}
\]

1. Умножим оба уравнения на 60, чтобы избавиться от дробей:
\[
60 \left(\frac{2}{5} x + \frac{3}{4} y\right) = 60 \cdot 5
\]

Это приводит к:
\[
24x + 45y = 300
\]

Для второго уравнения:
\[
60 \left(\frac{5}{6} x + \frac{3}{4} y\right) = 60 \cdot \frac{2}{3}
\]

Это приводит к:
\[
50x + 45y = 40
\]

2. Теперь система выглядит так:
\[
\begin{cases}
24x + 45y = 300 \\
50x + 45y = 40
\end{cases}
\]

3. Вычтем второе уравнение из первого:
\[
(24x + 45y) — (50x + 45y) = 300 — 40
\]

Это приводит к:
\[
-26x = 260
\]

4. Найдем \(x\):
\[
x = -10
\]

5. Подставим найденное значение \(x\) во второе уравнение:
\[
50(-10) + 45y = 40
\]

Это приводит к:
\[
-500 + 45y = 40
\]

6. Решим для \(y\):
\[
45y = 540 \\
y = 12
\]

7. Таким образом, окончательный ответ:
\[
x = -10, \quad y = 12
\]