ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 19.1 Мордкович — Подробные Ответы

а) Если числитель дроби умножить на 3, а из знаменателя вычесть 3, то получится 3. Если же из числителя вычесть 3, а знаменатель умножить на 3, то получится \(\frac{1}{12}\). Найдите эту дробь. б) Если к числителю и знаменателю дроби прибавить по 2, то получится \(\frac{1}{2}\), а если же из числителя и знаменателя вычесть по единице, то получится \(\frac{1}{3}\). Найдите эту дробь.

а) Решение

Обозначим дробь как \(\frac{x}{y}\).

1. Условие 1:
\[
\frac{3x}{y — 3} = 3 > 3x = 3(y — 3) > x = y — 3
\]

2. Условие 2:
\[
\frac{x — 3}{3y} = \frac{1}{12} > 12(x — 3) = 3y > 12x — 36 = 3y > y = 4x — 12
\]

Система:
\[
\begin{cases}
x = y — 3 \\
y = 4x — 12
\end{cases}
\]

Подставляем \(x\) в \(y\):
\[
y = 4(y — 3) — 12 > y = 4y — 12 — 12 > 3y = 24 > y = 8
\]

\[
x = 5
\]

Ответ: Дробь \(\frac{5}{8}\).

б) Решение

Обозначим дробь как \(\frac{x}{y}\).

1. Условие 1:
\[
\frac{x + 2}{y + 2} = \frac{1}{2} > 2(x + 2) = y + 2 > y = 2x + 2
\]

2. Условие 2:
\[
\frac{x — 1}{y — 1} = \frac{1}{3} > 3(x — 1) = y — 1 > s y = 3x — 2
\]

Система:
\[
\begin{cases}
y = 2x + 2 \\
y = 3x — 2
\end{cases}
\]

Приравниваем:
\[
2x + 2 = 3x — 2 > x = 4
\]

\[
y = 10
\]

Ответ: Дробь \(\frac{4}{10} = \frac{2}{5}\).

а) Решение

Обозначим дробь как \(\frac{x}{y}\).

1. Первое условие: Если числитель умножить на 3, а из знаменателя вычесть 3, то получится 3. Это можно записать как:
\[
\frac{3x}{y — 3} = 3
\]

Умножив обе стороны на \(y — 3\), получаем:
\[
3x = 3(y — 3)
\]

Раскроем скобки:
\[
3x = 3y — 9
\]

Перепишем уравнение:
\[
x = y — 3
\]

2. Второе условие: Если из числителя вычесть 3, а знаменатель умножить на 3, то получится \(\frac{1}{12}\):
\[
\frac{x — 3}{3y} = \frac{1}{12}
\]

Умножим обе стороны на \(3y\):
\[
x — 3 = \frac{3y}{12}
\]

Упростим правую часть:
\[
x — 3 = \frac{y}{4}
\]

Перепишем уравнение:
\[
x = \frac{y}{4} + 3
\]

Теперь у нас есть система уравнений (1) и (2):
\[
\begin{cases}
x = y — 3 \\
x = \frac{y}{4} + 3
\end{cases}
\]

Подставим \(x\) из первого уравнения во второе:
\[
y — 3 = \frac{y}{4} + 3
\]

Умножим все на 4, чтобы избавиться от дробей:
\[
4(y — 3) = y + 12
\]

Раскроем скобки:
\[
4y — 12 = y + 12
\]

Переносим все \(y\) в одну сторону:
\[
4y — y = 12 + 12 > 3y = 24 > y = 8
\]

Теперь подставим найденное значение \(y\) в первое уравнение:
\[
x = y — 3 = 8 — 3 = 5
\]

Ответ: Дробь \(\frac{5}{8}\).

б) Решение

Обозначим дробь как \(\frac{x}{y}\).

1. Первое условие: Если к числителю и знаменателю прибавить по 2, то получится \(\frac{1}{2}\):
\[
\frac{x + 2}{y + 2} = \frac{1}{2}
\]

Умножим обе стороны на \(y + 2\):
\[
2(x + 2) = y + 2
\]

Раскроем скобки:
\[
2x + 4 = y + 2
\]

Перепишем уравнение:
\[
y = 2x + 2
\]

2. Второе условие: Если из числителя и знаменателя вычесть по 1, то получится \(\frac{1}{3}\):
\[
\frac{x — 1}{y — 1} = \frac{1}{3}
\]

Умножим обе стороны на \(y — 1\):
\[
3(x — 1) = y — 1
\]

Раскроем скобки:
\[
3x — 3 = y — 1
\]

Перепишем уравнение:
\[
y = 3x — 2
\]

Теперь у нас есть система уравнений (1) и (2):
\[
\begin{cases}
y = 2x + 2 \\
y = 3x — 2
\end{cases}
\]

Приравняем правые части:
\[
2x + 2 = 3x — 2
\]

Переносим все \(x\) в одну сторону:
\[
2 + 2 = 3x — 2x > 4 = x
\]

Теперь подставим найденное значение \(x\) в первое уравнение:
\[
y = 2(4) + 2 = 8 + 2 = 10
\]

Ответ: Дробь \(\frac{4}{10} = \frac{2}{5}\).