ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 19.12 Мордкович — Подробные Ответы

а) Два пешехода отправились одновременно навстречу друг другу из пунктов А и В, расстояние между которыми 50 км. Через 4 ч расстояние между пешеходами сократилось до 2 км, а ещё через 3 ч первому пешеходу осталось пройти до пункта В на 7 км меньше, чем второму до пункта А. Найдите скорости пешеходов. б) Катер за 3 ч по течению реки проходит на 48 км меньше, чем за 6 ч против течения. Какова скорость течения реки, если плот по этой реке за 15 ч проплывает такое же расстояние, что и катер за 4 ч по озеру?

Решение

а) Скорости пешеходов
— Пусть \( v_1 \) и \( v_2 \) — скорости.

1. Сближение за 4 часа:
\[
4(v_1 + v_2) = 48 \quad \Rightarrow \quad v_1 + v_2 = 12 \quad (1)
\]

2. Расстояния через 7 часов:
\[
7v_1 + 4.5 = 50 \quad \Rightarrow \quad 7v_1 = 45.5 \quad \Rightarrow \quad v_1 = 6.5
\]

\[
v_2 = 12 — v_1 = 5.5
\]

Ответ
Скорости: \( v_1 = 6.5 \) км/ч и \( v_2 = 5.5 \) км/ч.

б) Скорость течения
— Пусть \( v \) — скорость катера, \( u \) — скорость течения.

1. Уравнение движения:
\[
3(v + u) + 48 = 6(v — u)
\]

Упрощаем:
\[
3v — 9u = 48 \quad \Rightarrow \quad v — 3u = 16 \quad (2)
\]

2. Уравнение для плота:
\[
v = \frac{15}{4}u \quad (3)
\]

3. Подставляем (3) в (2):
\[
\frac{15}{4}u — 3u = 16 \quad \Rightarrow \quad \frac{3}{4}u = 16 \quad \Rightarrow \quad u = \frac{64}{3}
\]

Ответ
Скорость течения: \( \frac{64}{3} \) км/ч или 21 \(\frac{1}{3}\) км/ч.

Условие:
а) Два пешехода вышли навстречу друг другу, расстояние 50 км. Через 4 часа расстояние между ними 2 км, а через 7 часов первому до В осталось на 7 км меньше, чем второму до А. Найти скорости пешеходов.

б) Катер за 3 часа по течению проходит на 48 км меньше, чем за 6 часов против течения. Найти скорость течения, если плот за 15 часов проходит то же расстояние, что и катер за 4 часа по озеру.

Решение:
а)
Пусть \(v_1\)
и \(v_2\)
— скорости пешеходов.

\(4v_1 + 4v_2 = 50 — 2\)
— сближение за 4 часа
\(4v_1 + 4v_2 = 48\)
— упрощаем
\(v_1 + v_2 = 12\)
— делим на 4

\(7v_1 + x = 50\)
— расстояние первого
\(7v_2 + x + 7 = 50\)
— расстояние второго
\(7v_1 + x + 7v_2 + x + 7 = 100\)
— складываем уравнения
\(7(v_1 + v_2) + 2x + 7 = 100\)
— группируем
\(7 \cdot 12 + 2x + 7 = 100\)
— подставляем \(v_1 + v_2 = 12\)

\(84 + 2x + 7 = 100\)
— упрощаем
\(2x = 9\)
— упрощаем
\(x = 4.5\)
— находим x

\(7v_1 + 4.5 = 50\)
— подставляем x
\(7v_1 = 45.5\)
— упрощаем
\(v_1 = 6.5\)
— находим скорость первого

\(v_2 = 12 — v_1\)
— выражаем скорость второго
\(v_2 = 12 — 6.5\)
— подставляем скорость первого
\(v_2 = 5.5\)
— находим скорость второго

б)
Пусть \(v\)
— скорость катера, \(u\)
— скорость течения.

\(3(v + u) + 48 = 6(v — u)\)
— уравнение движения
\(3v + 3u + 48 = 6v — 6u\)
— раскрываем скобки
\(3v — 9u = 48\)
— упрощаем
\(v — 3u = 16\)
— делим на 3

\(15u = 4v\)
— уравнение для плота и катера
\(v = \frac{15}{4}u\)
— выражаем v

\(\frac{15}{4}u — 3u = 16\)
— подставляем v
\(\frac{3}{4}u = 16\)
— упрощаем
\(u = \frac{64}{3}\)
— находим скорость течения

а) 6.5 км/ч и 5.5 км/ч;

б)
\(\frac{64}{3}\)
км/ч или 21 \(\frac{1}{3}\)
км/ч.