ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 19.15 Мордкович — Подробные Ответы

Можно ли решить данную задачу? Решите задачу, выделяя три этапа математического моделирования. Укажите избыточное условие, если оно есть. а) Катер за 4 ч по течению реки проходит на 2 км больше, чем за 5 ч против течения. На 36 км по течению реки и 32 км по озеру катер тратит 4 ч. Найдите собственную скорость катера, если плот по этой реке за 18 ч проплывает такое же расстояние, что и катер за 2 ч по озеру. б) Теплоход на 120 км против течения реки тратит 5 ч, а 180 км по течению реки преодолевает за 6 ч. Найдите скорость течения реки и собственную скорость теплохода, если плот проплывает за 18 ч такое же расстояние по реке, что и теплоход за 2 ч по озеру.

a)
1.
\(x\)
– собственная скорость катера, \(y\)
– скорость течения реки.

\(4(x+y) = 5(x-y) + 2\)

\(\frac{36}{x+y} + \frac{32}{x} = 4\)

\(18y = 2x\)

2.
\(4x + 4y = 5x — 5y + 2\)

\(x = 9y — 2\)

\(\frac{36}{9y-2+y} + \frac{32}{9y-2} = 4\)

\(\frac{36}{10y-2} + \frac{32}{9y-2} = 4\)

\(\frac{18}{5y-1} + \frac{32}{9y-2} = 4\)

\(18(9y-2) + 32(5y-1) = 4(5y-1)(9y-2)\)

\(162y — 36 + 160y — 32 = 4(45y^2 — 10y — 9y + 2)\)

\(322y — 68 = 180y^2 — 76y + 8\)

\(180y^2 — 398y + 76 = 0\)

\(90y^2 — 199y + 38 = 0\)

\(D = 199^2 — 4 \cdot 90 \cdot 38 = 39601 — 13680 = 25921 = 161^2\)

\(y_1 = \frac{199 + 161}{180} = \frac{360}{180} = 2\)

\(y_2 = \frac{199 — 161}{180} = \frac{38}{180} = \frac{19}{90}\)

\(x_1 = 9 \cdot 2 — 2 = 16\)

\(x_2 = 9 \cdot \frac{19}{90} — 2 = \frac{19}{10} — 2 = -\frac{1}{10}\)
(не подходит)
3.
Нельзя решить

Избыточное условие: «На 36 км по течению реки и 32 км по озеру катер тратит 4 ч».

б)
1.
\(x\)
– собственная скорость теплохода, \(y\)
– скорость течения реки.

\(5(x-y) = 120\)

\(6(x+y) = 180\)

\(18y = 2x\)

2.
\(x-y = 24\)

\(x+y = 30\)

\(x = 9y\)

\(9y — y = 24\)

\(8y = 24\)

\(y = 3\)

\(x = 27\)

3.
\(x = 27\)
км/ч, \(y = 3\)
км/ч.

Избыточное условие: «плот проплывает за 18 ч такое же расстояние по реке, что и теплоход за 2 ч по озеру».

a) Катер

1. Уравнения
— Собственная скорость катера: \(x\)
— Скорость течения реки: \(y\)

Уравнения:
1. \(4(x+y) = 5(x-y) + 2\)
2. \(\frac{36}{x+y} + \frac{32}{x} = 4\)
3. \(18y = 2x\)

2. Решение
— Упрощаем первое уравнение:
\[
4x + 4y = 5x — 5y + 2 \implies 4y + 5y = 5x — 4x + 2 \implies 9y = x + 2 \implies x = 9y — 2
\]

— Подставляем \(x\) во второе уравнение:
\[
\frac{36}{9y-2+y} + \frac{32}{9y-2} = 4 \implies \frac{36}{10y-2} + \frac{32}{9y-2} = 4
\]

— Умножаем на \((10y-2)(9y-2)\):
\[
18(9y-2) + 32(5y-1) = 4(5y-1)(9y-2)
\]

— Раскрываем скобки:
\[
162y — 36 + 160y — 32 = 4(45y^2 — 10y — 9y + 2)
\]

— Составляем квадратное уравнение:
\[
180y^2 — 398y + 76 = 0
\]

— Находим дискриминант:
\[
D = 199^2 — 4 \cdot 90 \cdot 38 = 25921 = 161^2
\]

— Находим корни:
\[
y_1 = \frac{199 + 161}{180} = 2, \quad y_2 = \frac{199 — 161}{180} = \frac{19}{90}
\]

— Находим \(x\):
\[
x_1 = 9 \cdot 2 — 2 = 16, \quad x_2 = 9 \cdot \frac{19}{90} — 2 = -\frac{1}{10} \quad (\text{не подходит})
\]

3. Вывод
Нельзя решить. Избыточное условие: «На 36 км по течению реки и 32 км по озеру катер тратит 4 ч».

б) Теплоход

1. Уравнения
— Собственная скорость теплохода: \(x\)
— Скорость течения реки: \(y\)

Уравнения:
1. \(5(x-y) = 120\)
2. \(6(x+y) = 180\)
3. \(18y = 2x\)

2. Решение
— Из первого уравнения:
\[
x — y = 24 > x + y = 30
\]

— Решаем систему:
\[
x = 9y
\]

\[
9y — y = 24 > 8y = 24 > y = 3
\]

\[
x = 27
\]

3. Вывод
\(x = 27\) км/ч, \(y = 3\) км/ч.

Избыточное условие: «плот проплывает за 18 ч такое же расстояние по реке, что и теплоход за 2 ч по озеру».