ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 19.16 Мордкович — Подробные Ответы

Решите задачу, выделяя три этапа математического моделирования. а) Алексей, Борис и Владимир решили покрасить забор. Алексей и Борис, работая вместе, могут покрасить этот забор за 3 ч, Борис и Владимир — за 4 ч, а Алексей и Владимир — за 6 ч. Сколько времени потребуется на покраску забора каждому мальчику в отдельности? б) Аня, Валя и Галя решили прополоть огород. Аня и Валя, работая вместе, могут прополоть этот огород за 3 ч, Валя и Галя — за 2 ч 40 мин, а Аня и Галя — за 4 ч. Сколько времени потребуется для прополки огорода каждой девочке в отдельности?

Условие задачи

а) Алексей и Борис красят забор за 3 ч, Борис и Владимир — за 4 ч, Алексей и Владимир — за 6 ч. Найти время покраски забора каждым мальчиком отдельно.

б) Аня и Валя пропалывают огород за 3 ч, Валя и Галя — за 2 ч 40 мин, Аня и Галя — за 4 ч. Найти время прополки огорода каждой девочкой отдельно.

Решение

а) Математическая модель

Обозначим:
— \( x \) — время Алексея,
— \( y \) — время Бориса,
— \( z \) — время Владимира.

Система уравнений:
\[
\begin{cases}
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{3} \\
\frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{4} \\
\frac{1}{x} + \frac{1}{z} = \frac{1}{6}
\end{cases}
\]

Решение

1. Сложим уравнения:
\[
2\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\right) = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{3}{8}
\]

\[
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{3}{8}
\]

2. Выразим \( x, y, z \):
— \( x = 8 \) ч,
— \( y = 4.8 \) ч,
— \( z = 24 \) ч.

Ответ: Алексей — 8 ч, Борис — 4.8 ч, Владимир — 24 ч.

б) Математическая модель

Обозначим:
— \( a \) — время Ани,
— \( b \) — время Вали,
— \( c \) — время Гали.

Система уравнений:
\[
\begin{cases}
\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{3} \\
\frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{3}{8} \\
\frac{1}{a} + \frac{1}{c} = \frac{1}{4}
\end{cases}
\]

Решение

1. Преобразуем 2 ч 40 мин в часы:
\[
2 \text{ч} 40 \text{мин} = \frac{8}{3} \text{ч}
\]

2. Сложим уравнения:
\[
2\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\right) = \frac{23}{24}
\]

\[
\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{23}{48}
\]

3. Выразим \( a, b, c \):
— \( a = 9.6 \) ч,
— \( b \approx 4.36 \) ч,
— \( c \approx 6.86 \) ч.

Ответ: Аня — 9.6 ч, Валя — 4.36 ч, Галя — 6.86 ч.

Условие:
а) Алексей и Борис красят забор за 3 ч, Борис и Владимир — за 4 ч, Алексей и Владимир — за 6 ч. Найти время покраски забора каждым мальчиком отдельно.
б) Аня и Валя пропалывают огород за 3 ч, Валя и Галя — за 2 ч 40 мин, Аня и Галя — за 4 ч. Найти время прополки огорода каждой девочкой отдельно.

Решение:
а)
Этап 1: Математическая модель.
Пусть \(x\)
— время, за которое Алексей покрасит забор один, \(y\)
— время Бориса, \(z\)
— время Владимира. Тогда:
\( \frac{1}{x} \)
— часть забора, которую Алексей красит за 1 час.
\( \frac{1}{y} \)
— часть забора, которую Борис красит за 1 час.
\( \frac{1}{z} \)
— часть забора, которую Владимир красит за 1 час.

Составим систему уравнений:
\( \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{3} \\ \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{4} \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{z} = \frac{1}{6} \end{cases} \)

Этап 2: Решение математической модели.
Сложим все три уравнения:
\( 2(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}) = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} \)

\( 2(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}) = \frac{4+3+2}{12} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4} \)

\( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{3}{8} \)

Выразим \(\frac{1}{x}\):
\( \frac{1}{x} = \frac{3}{8} — (\frac{1}{y} + \frac{1}{z}) = \frac{3}{8} — \frac{1}{4} = \frac{3-2}{8} = \frac{1}{8} \)

\( x = 8 \)

Выразим \(\frac{1}{y}\):
\( \frac{1}{y} = \frac{3}{8} — (\frac{1}{x} + \frac{1}{z}) = \frac{3}{8} — \frac{1}{6} = \frac{9-4}{24} = \frac{5}{24} \)

\( y = \frac{24}{5} = 4.8 \)

Выразим \(\frac{1}{z}\):
\( \frac{1}{z} = \frac{3}{8} — (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) = \frac{3}{8} — \frac{1}{3} = \frac{9-8}{24} = \frac{1}{24} \)

\( z = 24 \)

Этап 3: Анализ решения.
Алексей покрасит забор за 8 часов, Борис за 4.8 часа, Владимир за 24 часа.

б)
Этап 1: Математическая модель.
Пусть \(a\)
— время, за которое Аня прополет огород одна, \(b\)
— время Вали, \(c\)
— время Гали. Тогда:
\( \frac{1}{a} \)
— часть огорода, которую Аня пропалывает за 1 час.
\( \frac{1}{b} \)
— часть огорода, которую Валя пропалывает за 1 час.
\( \frac{1}{c} \)
— часть огорода, которую Галя пропалывает за 1 час.

2 ч 40 мин = \(2 + \frac{40}{60} = 2 + \frac{2}{3} = \frac{8}{3}\)
ч

Составим систему уравнений:
\( \begin{cases} \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{3} \\ \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{3}{8} \\ \frac{1}{a} + \frac{1}{c} = \frac{1}{4} \end{cases} \)

Этап 2: Решение математической модели.
Сложим все три уравнения:
\( 2(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) = \frac{1}{3} + \frac{3}{8} + \frac{1}{4} \)

\( 2(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) = \frac{8+9+6}{24} = \frac{23}{24} \)

\( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{23}{48} \)

Выразим \(\frac{1}{a}\):
\( \frac{1}{a} = \frac{23}{48} — (\frac{1}{b} + \frac{1}{c}) = \frac{23}{48} — \frac{3}{8} = \frac{23-18}{48} = \frac{5}{48} \)

\( a = \frac{48}{5} = 9.6 \)

Выразим \(\frac{1}{b}\):
\( \frac{1}{b} = \frac{23}{48} — (\frac{1}{a} + \frac{1}{c}) = \frac{23}{48} — \frac{1}{4} = \frac{23-12}{48} = \frac{11}{48} \)

\( b = \frac{48}{11} \approx 4.36 \)

Выразим \(\frac{1}{c}\):
\( \frac{1}{c} = \frac{23}{48} — (\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) = \frac{23}{48} — \frac{1}{3} = \frac{23-16}{48} = \frac{7}{48} \)

\( c = \frac{48}{7} \approx 6.86 \)

Этап 3: Анализ решения.
Аня прополет огород за 9.6 часа, Валя за 4.36 часа, Галя за 6.