ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 2.19 Мордкович — Подробные Ответы

Найдите основание степени:
а) \( b^{3} = 216 \);
б) \( x^{2} = 25 \);
в) \( b^{5} = -32 \);
г) \( x^{4} = 81 \).

а)
\[
b^{3} = 216
\]

\[
b = \sqrt[3]{216} = 6
\]

б)
\[
x^{2} = 25
\]

\[
x = \pm \sqrt{25} = \pm 5
\]

в)
\[
b^{5} = -32
\]

\[
b = \sqrt[5]{-32} = -2
\]

г)
\[
x^{4} = 81
\]

\[
x = \pm \sqrt[4]{81} = \pm 3
\]

Нам нужно найти основание степени, то есть такое число, которое при возведении в указанный показатель даёт заданное значение. При этом учитываем, что:

— при нечётном показателе степень сохраняет знак основания;
— при чётном показателе степень всегда неотрицательна, и уравнение может иметь два решения — положительное и отрицательное.

а) \( b^{3} = 216 \)

Показатель степени — нечётный (3), значит, уравнение имеет ровно одно действительное решение.

Разложим 216 на простые множители или вспомним, что:

\[
6^{3} = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 36 \cdot 6 = 216
\]

Следовательно:

\[
b^{3} = 6^{3}
\]

\[
b = 6
\]

б) \( x^{2} = 25 \)

Показатель степени — чётный (2), поэтому уравнение имеет два решения: положительное и отрицательное.

\[
x^{2} = 25 \quad \Rightarrow \quad x = \sqrt{25} \quad \text{или} \quad x = -\sqrt{25}
\]

\[
\sqrt{25} = 5
\]

\[
x = 5 \quad \text{или} \quad x = -5
\]

Или кратко:

\[
x = \pm 5
\]

в) \( b^{5} = -32 \)

Показатель степени — нечётный (5), поэтому отрицательное значение степени возможно только при отрицательном основании.

Заметим, что:

\[
2^{5} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32
\]

Тогда:

\[
(-2)^{5} = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)
\]

\[
= (4) \cdot (4) \cdot (-2) = 16 \cdot (-2) = -32
\]

Следовательно:

\[
b^{5} = (-2)^{5}
\]

\[
b = -2
\]

*г) \( x^{4} = 81 \)

Показатель степени — чётный (4), поэтому уравнение имеет два действительных решения: положительное и отрицательное (если корень существует).

Заметим, что:

\[
3^{4} = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 9 \cdot 9 = 81
\]

Также:

\[
(-3)^{4} = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = 9 \cdot 9 = 81
\]

Следовательно, оба числа подходят:

\[
x = 3 \quad \text{или} \quad x = -3
\]

Или кратко:

\[
x = \pm 3
\]