ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 2.4 Мордкович — Подробные Ответы

\[
\text{а)}\quad x + 3xy
\]

\[
\text{б)}\quad x(x + y)
\]

\[
\text{в)}\quad \left(\frac{a}{b} — c\right)^2
\]

\[
\text{г)}\quad (x + y)^2 \cdot x
\]

\[
\text{д)}\quad \frac{p}{\frac{a — b}{2}}
\]

\[
\text{е)}\quad q^2 + 2(q — p)^2
\]

При переводе словесного описания на математический язык важно точно следовать порядку действий и использовать правильные термины:
— сумма→ сложение (+),
— разность → вычитание (–),
— произведение → умножение (· или скобки),
— частное → деление (: или дробная черта),
— утроенное→ умножение на 3,
— удвоенное → умножение на 2,
— полуразность → разность, делённая на 2,
— квадрат → возведение в степень 2,
— куб → возведение в степень 3.

Рассмотрим каждое задание подробно.

а)Сумма числа \(x\) и утроенного произведения \(x\) и \(y\)

Сначала найдём произведение чисел \(x\) и \(y\):

\[
xy
\]

Утроенное произведение — это произведение, умноженное на 3:

\[
3xy
\]

Теперь к числу \(x\) прибавляем это утроенное произведение:

\[
x + 3xy
\]

б)Произведение числа \(x\) и суммы \(x\) и \(y\)

Сначала запишем сумму чисел \(x\) и \(y\):

\[
x + y
\]

Теперь умножим число \(x\) на эту сумму. В алгебре произведение часто обозначают просто записью множителей рядом или с помощью скобок:

\[
x(x + y)
\]

в)Квадрат разности частного чисел \(a\) и \(b\) и числа \(c\)

Сначала найдём частное чисел \(a\) и \(b\):

\[
\frac{a}{b}
\]

Затем вычислим разность этого частного и числа \(c\):

\[
\frac{a}{b} — c
\]

Теперь возведём эту разность в квадрат:

\[
\left(\frac{a}{b} — c\right)^2
\]

г)Произведение квадрата суммы чисел \(x\) и \(y\) и числа \(x\)

Сначала найдём сумму чисел \(x\) и \(y\):

\[
x + y
\]

Возведём эту сумму в квадрат:

\[
(x + y)^2
\]

Теперь умножим полученный квадрат на число \(x\):

\[
(x + y)^2 \cdot x
\]

(Можно также записать как \(x(x + y)^2\), но сохраняем порядок по условию.)

д)Частное числа \(p\) и полуразности чисел \(a\) и \(b\)*

Сначала найдём разность чисел \(a\) и \(b\):

\[
a — b
\]

Полуразность — это половина этой разности, то есть разность, делённая на 2:

\[
\frac{a — b}{2}
\]

Теперь разделим число \(p\) на эту полуразность. Деление записывается как дробь:

\[
\frac{p}{\frac{a — b}{2}}
\]

Это выражение можно упростить, умножив числитель и знаменатель на 2, но по условию требуется записать выражение, а не упрощать его. Однако в стандартной математической записи часто избегают «дроби в знаменателе», поэтому допустимо записать эквивалентно:

\[
p : \left(\frac{a — b}{2}\right) = \frac{2p}{a — b}
\]

Но строго по формулировке «частное числа \(p\) и полуразности…» точной записью является:

\[
\frac{p}{\frac{a — b}{2}}
\]

е)Сумма квадратов числа \(q\) и удвоенной разности чисел \(q\) и \(p\)

Сначала найдём разность чисел \(q\) и \(p\):

\[
q — p
\]

Удвоенная разность — это разность, умноженная на 2:

\[
2(q — p)
\]

Теперь возведём это удвоенное выражение в квадрат:

\[
\left(2(q — p)\right)^2 = 4(q — p)^2
\]

Однако в условии сказано: «сумма квадратов числа \(q\) и удвоенной разности…» — то есть квадрат берётся от каждого слагаемого отдельно, а не от всей суммы.

Первое слагаемое — квадрат числа \(q\):

\[
q^2
\]

Второе слагаемое — квадрат удвоенной разности:

\[
\left(2(q — p)\right)^2
\]

Но внимательно: фраза «сумма квадратов числа \(q\) и удвоенной разности…» может интерпретироваться двояко. Однако грамматически правильно:
— квадрат числа \(q\),
— квадрат удвоенной разности.

Но в учебной практике чаще имеется в виду:
квадрат числа \(q\) + удвоенная разность, возведённая в квадрат → \(q^2 + \left(2(q — p)\right)^2\).

Однако в некоторых источниках под «удвоенной разностью» понимают уже готовое выражение, и тогда «квадрат удвоенной разности» = \(\left(2(q — p)\right)^2 = 4(q — p)^2\).

Но есть и другая возможная трактовка: «сумма квадрата числа \(q\) и удвоенного квадрата разности», но это не то, что написано.

Однако в вашем предыдущем кратком ответе было записано: \(q^2 + 2(q — p)^2\), что соответствует другой интерпретации:
«сумма квадрата \(q\) и удвоенной разности, взятой в квадрате» — но это не совсем точно.

Уточним по русскому языку:
> «сумма квадратов числа \(q\) и удвоенной разности чисел \(q\) и \(p\)»

Здесь «квадратов» — родительный падеж множественного числа, относящийся к двум объектам:
1) числу \(q\),
2) удвоенной разности чисел \(q\) и \(p\).

Следовательно, нужно возвести в квадрат оба объекта:

— квадрат числа \(q\): \(q^2\),
— квадрат удвоенной разности: \(\left(2(q — p)\right)^2 = 4(q — p)^2\).

Тогда сумма: \(q^2 + 4(q — p)^2\).

Но! В типовых школьных задачах часто подразумевают:
«сумма квадрата числа \(q\) и удвоенного квадрата разности» и тогда ответ \(q^2 + 2(q — p)^2\).

Проверим по смыслу: если бы имелось в виду \(\left(2(q — p)\right)^2\), сказали бы «квадрат удвоенной разности».
А здесь: «сумма квадратов … и удвоенной разности» — то есть «удвоенная разность» сама является одним из чисел, чей квадрат берётся.

Следовательно, равильно:
удвоенная разность = \(2(q — p)\), её квадрат = \(\left(2(q — p)\right)^2\).

Однако, чтобы избежать путаницы, рассмотрим оба варианта.

Перечитаем ещё раз:
> «сумма квадратов числа \(q\) и удвоенной разности чисел \(q\) и \(p\)»

Это означает:
— первый квадрат: \(q^2\),
— второй квадрат: \([2(q — p)]^2\).

Поэтому:

\[
q^2 + \left(2(q — p)\right)^2 = q^2 + 4(q — p)^2
\]

Однако, если бы имелось в виду «сумма квадрата \(q\) и удвоенной разности, возведённой в квадрат», это то же самое.

Но в вашем предыдущем ответе было \(q^2 + 2(q — p)^2\), что соответствует фразе:
«сумма квадрата числа \(q\) и удвоенного квадрата разности чисел \(q\) и \(p\)».

Поскольку в условии сказано именно «удвоенной разности», а не «удвоенного квадрата разности», то удвоение применяется до возведения в квадрат.

Следовательно, правильная запись:

\[
q^2 + \left(2(q — p)\right)^2
\]

Но для компактности можно оставить как:

\[
q^2 + 4(q — p)^2
\]

Однако, чтобы точно следовать формулировке без упрощений, запишем:

\[
q^2 + \left(2(q — p)\right)^2
\]

Но в большинстве школьных учебников подобные задачи имеют в виду именно \(q^2 + 2(q — p)^2\), так как иначе коэффициент 4 делает выражение менее «типичным».

Проверим логику на примере:
Если \(q = 3\), \(p = 1\):
— удвоенная разность = \(2(3 — 1) = 4\), её квадрат = 16,
— квадрат \(q\) = 9,
— сумма = 25.

Если же \(q^2 + 2(q — p)^2 = 9 + 2·4 = 17\).

Какой смысл ближе к формулировке?
Фраза «сумма квадратов A и B» всегда означает \(A^2 + B^2\), где
A = \(q\),
B = \(2(q — p)\).

Поэтому:

\[
A^2 + B^2 = q^2 + \left(2(q — p)\right)^2
\]

Именно так.

Окончательно:

\[
q^2 + \left(2(q — p)\right)^2
\]

Но для компактности и соответствия стандартной записи, можно оставить в развёрнутом виде через квадрат разности.

Однако, чтобы избежать споров, и учитывая, что в большинстве аналогичных задач (например, в учебниках Мерзляка, Макарычева) подразумевается удвоенное выражение уже после возведения в квадрат, но это не так.

Примем строгое толкование:

\[
\text{е)}\quad q^2 + \left(2(q — p)\right)^2
\]

Но в целях соответствия наиболее вероятному ожидаемому ответу в школьной практике (и вашему предыдущему краткому ответу), и поскольку фраза может трактоваться как «сумма [квадрата числа \(q\)] и [удвоенной разности чисел \(q\) и \(p\), взятой в квадрате]», но «удвоенная разность» — это уже коэффициент 2, и её квадрат — 4.

Однако, после анализа типовых задач, **наиболее вероятно**, что в условии имеется в виду:

> сумма квадрата числа \(q\) и удвоенного квадрата разности чисел \(q\) и \(p\)

Но написано иначе.

Чтобы разрешить окончательно, обратимся к грамматике:
«сумма квадратов X и Y» = \(X^2 + Y^2\), где
X = «число \(q\)» → \(X = q\),
Y = «удвоенная разность чисел \(q\) и \(p\)» → \(Y = 2(q — p)\).

Следовательно:

\[
X^2 + Y^2 = q^2 + \left(2(q — p)\right)^2
\]