ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 2.6 Мордкович — Подробные Ответы

\[
P = 2 \cdot (a + b) \rightarrow \text{периметр данного прямоугольника.}
\]

а) \(p = a + b\).

б) \(a = p — b;\quad b = p — a\).

в) Если периметр в 2 раза больше, то каждую сторону увеличили в 2 раза:
\[
P = 2 \cdot (2a + 2b) \Longrightarrow S = 2a \cdot 2b = 4ab.
\]

г) \(P = 4a\).

д) \(a = P : 2 — b;\quad b = P : 2 — a\).

е) Если площадь в 2 раза больше, то одну из сторон увеличили в 2 раза:
\[
S_1 = 2ab \Longrightarrow P_1 = 2 \cdot (2a + b) \text{ или } P_1 = 2 \cdot (a + 2b).
\]

Исходное утверждение:
Периметр \(P\) прямоугольника равен удвоенной сумме его сторон \(a\) и \(b\).
Это записывается на математическом языке как:

\[
P = 2(a + b)
\]

Теперь последовательно ответим на все вопросы.

а)Чему равен полупериметр \(p\) этого прямоугольника?

Полупериметр — это половина периметра. Поэтому:

\[
p = \frac{P}{2}
\]

Подставим выражение для \(P\):

\[
p = \frac{2(a + b)}{2}
\]

\[
p = a + b
\]

Таким образом, полупериметр прямоугольника равен сумме его соседних сторон.

б)Как найти сторону прямоугольника, если известны полупериметр и его другая сторона?

Из пункта (а) известно, что:

\[
p = a + b
\]

Если известны \(p\) и, например, сторона \(b\), то сторона \(a\) находится вычитанием:

\[
a = p — b
\]

Аналогично, если известны \(p\) и сторона \(a\), то:

\[
b = p — a
\]

Эти формулы следуют непосредственно из определения полупериметра.

в)Чему равна площадь \(S\) прямоугольника, периметр которого в 2 раза больше данного?

Сначала найдём периметр нового прямоугольника. По условию он в 2 раза больше исходного:

\[
P_{\text{нов}} = 2P = 2 \cdot 2(a + b) = 4(a + b)
\]

В учебнике (см. извлечённый текст) предполагается, что стороны прямоугольника увеличили в 2 раза, то есть новые стороны — \(2a\) и \(2b\). Проверим, соответствует ли это условию:

\[
P_{\text{нов}} = 2(2a + 2b) = 2 \cdot 2(a + b) = 4(a + b)
\]

— совпадает. Следовательно, предположение корректно.

Теперь найдём площадь нового прямоугольника. Площадь прямоугольника равна произведению его сторон:

\[
S = (2a) \cdot (2b)
\]

\[
S = 4ab
\]

Таким образом, если периметр увеличить в 2 раза за счёт пропорционального увеличения сторон, площадь станет в 4 раза больше исходной.

г)Чему равен периметр квадрата со стороной \(a\)?

У квадрата все четыре стороны равны. Поэтому периметр — это сумма четырёх одинаковых сторон:

\[
P = a + a + a + a = 4a
\]

Или, что то же самое:

\[
P = 4a
\]

д)Как найти сторону прямоугольника, если известны периметр и его другая сторона?

Из исходной формулы:

\[
P = 2(a + b)
\]

Разделим обе части на 2:

\[
\frac{P}{2} = a + b
\]

Теперь выразим одну из сторон. Например, чтобы найти \(a\):

\[
a = \frac{P}{2} — b
\]

Аналогично, чтобы найти \(b\):

\[
b = \frac{P}{2} — a
\]

В записи через деление (как в учебнике) это выглядит так:

\[
a = P : 2 — b,\quad b = P : 2 — a
\]

е)Чему равен периметр \(P_1\) прямоугольника, площадь \(S_1\) которого в 2 раза больше площади прямоугольника со сторонами \(a\) и \(b\)?*

Площадь исходного прямоугольника:

\[
S = ab
\]

По условию, новая площадь:

\[
S_1 = 2ab
\]

Чтобы получить площадь \(2ab\), можно, например, увеличить одну из сторон в 2 раза, оставив другую без изменения. Тогда возможны два случая:

1. Новые стороны: \(2a\) и \(b\). Тогда \(S_1 = 2a \cdot b = 2ab\).
2. Новые стороны: \(a\) и \(2b\). Тогда \(S_1 = a \cdot 2b = 2ab\).

В первом случае периметр:

\[
P_1 = 2(2a + b)
\]

Во втором случае:

\[
P_1 = 2(a + 2b)
\]

Поскольку в условии не уточняется, как именно увеличена площадь, оба варианта допустимы. Поэтому периметр \(P_1\) может быть записан в одном из двух видов:

\[
P_1 = 2(2a + b) \quad \text{или} \quad P_1 = 2(a + 2b)
\]