ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 23.13 Мордкович — Подробные Ответы

В упражнениях 23.12, 23.13 задайте аналитически кусочную функцию по её графику, представленному на указанном рисунке. Прочитайте график функции, ответив на следующие вопросы. 1) Какова область определения функции у = f(x)? 2) Чему равны наименьшее и наибольшее значения функции? 3) Является ли функция непрерывной? Если нет, то в каких точках она претерпевает разрыв? 4) При каких значениях аргумента значение функции меньше нуля; равно нулю; больше нуля? 5) На каких промежутках функция возрастает, а на каких убывает? а) Рис. 111; б) рис. 112; в) рис. 113; г) рис. 114.

a) Определение функции:
— \( f(x) =
\begin{cases}
-x, & \text{если } -4 \le x \le -1 \\
x^2, & \text{если } -1 < x < 1 \\
2x, & \text{если } 1 \le x \le 3
\end{cases} \)

1) Область определения функции: \([-4; 3]\).
2) Минимальное значение (Унаим) = 0, максимальное значение (Унаиб) = 6.
3) Функция претерпевает разрыв в точке \(x = 1\).
4) \(y < 0\) не имеет решений, \(y = 0\) при \(x = 0\), \(y > 0\) при \(x \in [-4; 0) \cup (0; 1) \setminus [1; 3]\).
5) Функция возрастает на \([0; 1)\) и \([1; 3]\), убывает на \([-4; 0)\).

б) Определение функции:
— \( f(x) =
\begin{cases}
-x^2, & \text{если } -2 \le x \le 1 \\
-x — 2, & \text{если } -5 \le x < -2 \\
x — 2, & \text{если } 1 < x < 5
\end{cases} \)

1) Область определения функции: \([-5; 5)\).
2) Минимальное значение (Унаим) = -4, максимальное значение (Унаиб) = 3.
3) Функция претерпевает разрыв в точке \(x = -2\).
4) \(y \le 0\) при \(x \in [-2; 0) \cup (0; 2)\), \(y = 0\) при \(x = 0\) и \(x = 2\), \(y > 0\) при \(x \in (-5; -2) \cup (2; 5)\).
5) Функция возрастает на \([-2; 0]\) и \([1; 5)\), убывает на \([-5; -2)\) и \([0; 1]\).

Извлеченные из изображения основные пункты:

в) Определение функции:
— \( f(x) =
\begin{cases}
-3x — 4, & \text{если } -4 < x \le -2 \\
-x, & \text{если } -1 < x \le 0 \\
x^2, & \text{если } 0 < x \le 3
\end{cases} \)

1) Область определения функции: \((-4; -2) \cup (-1; 3]\).
2) Минимальное значение (Унаим) = 0, максимальное значение (Унаиб) = 9.
3) Функция претерпевает разрыв при \(x \in [-2; -1]\).
4) \(y < 0\) не имеет решений, \(y = 0\) при \(x = 0\), \(y > 0\) при \(x \in (-4; -2) \cup (-1; 0) \cup (0; 3]\).
5) Функция возрастает на \([0; 3]\), убывает на \((-4; -2)\) и \((-1; 0]\).

г) Определение функции:
— \( f(x) =
\begin{cases}
x^2, & \text{если } -3 \le x \le 0 \\
3x, & \text{если } 0 < x \le 1 \\
-2, & \text{если } x > 1
\end{cases} \)

1) Область определения функции: \([-3; +\infty)\).
2) Минимальное значение (Унаим) не существует, максимальное значение (Унаиб) = 9.
3) Функция претерпевает разрыв в точке \(x = 1\).
4) \(y < 0\) при \(x \in (1; +\infty)\), \(y = 0\) при \(x = 0\), \(y > 0\) при \(x \in (-3; 0) \cup (0; 1]\).
5) Функция возрастает на \([0; 1]\), убывает на \([-3; 0]\).

а) Определение функции

Функция:
\[
f(x) =
\begin{cases}
-x, & \text{если } -4 \le x \le -1 \\
x^2, & \text{если } -1 < x < 1 \\
2x, & \text{если } 1 \le x \le 3
\end{cases}
\]

1) Область определения функции:
Область определения функции \( f(x) \) составляет интервал \([-4; 3]\). Это означает, что функция определена для всех значений \( x \) в этом диапазоне.

2) Минимальное и максимальное значения:
— Минимальное значение (Унаим): Функция принимает минимальное значение \(0\) при \(x = 0\) (где \(f(0) = 0^2 = 0\)).
— Максимальное значение (Унаиб): Максимум функции достигается при \(x = 3\), где \(f(3) = 2 \cdot 3 = 6\).

3) Разрыв функции:
Функция претерпевает разрыв в точке \(x = 1\), так как в этой точке происходит смена определяющего выражения, и значения слева и справа от этой точки не совпадают.

4) Решения для различных значений \(y\):
— \(y < 0\): Не имеет решений, так как все значения функции в пределах определения не могут быть отрицательными.
— \(y = 0\): Достигается при \(x = 0\).
— \(y > 0\): Функция принимает положительные значения для \(x \in [-4; 0) \cup (0; 1) \cup (1; 3]\).

5) Возрастание и убывание функции:
— Функция возрастает на \([0; 1)\) (где \(f(x) = x^2\)) и \([1; 3]\) (где \(f(x) = 2x\)).
— Функция убывает на \([-4; 0)\) (где \(f(x) = -x\)).

б) Определение функции

Функция:
\[
f(x) =
\begin{cases}
-x^2, & \text{если } -2 \le x \le 1 \\
-x — 2, & \text{если } -5 \le x < -2 \\
x — 2, & \text{если } 1 < x < 5
\end{cases}
\]

1) Область определения функции:
Область определения функции составляет интервал \([-5; 5)\). Это значит, что функция определена для всех значений \( x \) в этом диапазоне.

2) Минимальное и максимальное значения:
— Минимальное значение (Унаим): Функция достигает минимального значения \(-4\) при \(x = 2\) (где \(f(2) = 2 — 2 = 0\)).
— Максимальное значение (Унаиб): Максимум функции равен \(3\) при \(x = -2\) (где \(f(-2) = -(-2)^2 = -4\)).

3) Разрыв функции:
Функция претерпевает разрыв в точке \(x = -2\), так как значения слева и справа от этой точки не совпадают.

4) Решения для различных значений \(y\):
— \(y \le 0\): Достигается при \(x \in [-2; 0) \cup (0; 2)\).
— \(y = 0\): Достигается при \(x = 0\) и \(x = 2\).
— \(y > 0\): Функция принимает положительные значения для \(x \in (-5; -2) \cup (2; 5)\).

5) Возрастание и убывание функции:
— Функция возрастает на \([-2; 0]\) и \([1; 5)\).
— Функция убывает на \([-5; -2)\) и \([0; 1]\).

в) Определение функции

Функция:
\[
f(x) =
\begin{cases}
-3x — 4, & \text{если } -4 < x \le -2 \\
-x, & \text{если } -1 < x \le 0 \\
x^2, & \text{если } 0 < x \le 3
\end{cases}
\]

1) Область определения функции:
Область определения функции составляет интервал \((-4; -2) \cup (-1; 3]\). Это значит, что функция определена для всех значений \( x \) в этих диапазонах.

2) Минимальное и максимальное значения:
— Минимальное значение (Унаим): Функция достигает минимального значения \(0\) при \(x = 0\) (где \(f(0) = 0^2 = 0\)).
— Максимальное значение (Унаиб): Максимум функции равен \(9\) при \(x = 3\) (где \(f(3) = 3^2 = 9\)).

3) Разрыв функции:
Функция претерпевает разрыв при \(x \in [-2; -1]\), так как в этой области значения функции не определены.

4) Решения для различных значений \(y\):
— \(y < 0\): Не имеет решений, так как все значения функции в пределах определения не могут быть отрицательными.
— \(y = 0\): Достигается при \(x = 0\).
— \(y > 0\): Функция принимает положительные значения для \(x \in (-4; -2) \cup (-1; 0) \cup (0; 3]\).

5) Возрастание и убывание функции:
— Функция возрастает на \([0; 3]\) (где \(f(x) = x^2\)).
— Функция убывает на \((-4; -2)\) (где \(f(x) = -3x — 4\)) и \((-1; 0]\) (где \(f(x) = -x\)).

г) Определение функции

Функция:
\[
f(x) =
\begin{cases}
x^2, & \text{если } -3 \le x \le 0 \\
3x, & \text{если } 0 < x \le 1 \\
-2, & \text{если } x > 1
\end{cases}
\]

1) Область определения функции:
Область определения функции составляет интервал \([-3; +\infty)\). Это значит, что функция определена для всех значений \( x \) начиная с \(-3\).

2) Минимальное и максимальное значения:
— Минимальное значение (Унаим): Минимальное значение не существует, так как функция \(f(x) = -2\) для \(x > 1\) и \(f(x) = x^2\) становится бесконечно малым при \(x \to -3\).
— Максимальное значение (Унаиб): Максимум функции равен \(9\) при \(x = 3\) (где \(f(3) = 3^2 = 9\)).

3) Разрыв функции:
Функция претерпевает разрыв в точке \(x = 1\), так как значения слева и справа от этой точки не совпадают.

4) Решения для различных значений \(y\):
— \(y < 0\): Достигается при \(x \in (1; +\infty)\) (где \(f(x) = -2\)).
— \(y = 0\): Достигается при \(x = 0\).
— \(y > 0\): Функция принимает положительные значения для \(x \in (-3; 0) \cup (0; 1]\).

5) Возрастание и убывание функции:
— Функция возрастает на \([0; 1]\) (где \(f(x) = 3x\)).
— Функция убывает на \([-3; 0]\) (где \(f(x) = x^2\)).