Учебное пособие «Алгебра, 7 класс» авторства Мордковича, Мардахаева и Семенова является важным ресурсом для школьников, желающих расширить свои знания в алгебре. Книга выделяется содержательной насыщенностью и продуманной методической организацией, что способствует более легкому и интересному освоению математического материала.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 24.8 Мордкович — Подробные Ответы
Гараж имеет форму прямоугольного параллелепипеда. При этом длина гаража в 2 раза больше ширины и в 3 раза больше высоты. Найдите размеры гаража, если его объём равен \(36 м^3\).
Условие:
Найти размеры гаража в форме прямоугольного параллелепипеда, если длина в 2 раза больше ширины и в 3 раза больше высоты, а объём равен 36 м³.
Решение:
Пусть \(h\)
— высота гаража.
Тогда длина \(l = 3h\), а ширина \(w = \frac{l}{2} = \frac{3h}{2}\).
Объём параллелепипеда: \(V = lwh\)
\(V = 3h \cdot \frac{3h}{2} \cdot h = \frac{9h^3}{2}\)
— подставили значения
\(\frac{9h^3}{2} = 36\)
— приравняли к заданному объёму
\(9h^3 = 72\)
— умножили на 2
\(h^3 = 8\)
— разделили на 9
\(h = 2\)
м — нашли высоту
\(l = 3h = 3 \cdot 2 = 6\)
м — нашли длину
\(w = \frac{3h}{2} = \frac{3 \cdot 2}{2} = 3\)
м — нашли ширину
Длина: 6 м, ширина: 3 м, высота: 2 м.
Условие задачи
Найти размеры гаража, если:
— Длина \( l \) в 2 раза больше ширины \( w \).
— Длина \( l \) в 3 раза больше высоты \( h \).
— Объём \( V \) гаража равен 36 м³.
Обозначения
Пусть:
— \( h \) — высота гаража.
— Тогда длина \( l \) и ширина \( w \) можно выразить через высоту:
— \( l = 3h \) (длина в 3 раза больше высоты)
— \( w = \frac{l}{2} = \frac{3h}{2} \) (ширина в 2 раза меньше длины)
Формула объёма
Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле:
\[
V = l \cdot w \cdot h
\]
Подставим выражения для \( l \) и \( w \):
\[
V = (3h) \cdot \left(\frac{3h}{2}\right) \cdot h
\]
Подстановка и упрощение
Теперь подставим и упростим:
\[
V = 3h \cdot \frac{3h}{2} \cdot h = \frac{9h^3}{2}
\]
Приравняем к заданному объёму:
\[
\frac{9h^3}{2} = 36
\]
Решение уравнения
Умножим обе стороны уравнения на 2 для избавления от дроби:
\[
9h^3 = 72
\]
Теперь разделим обе стороны на 9:
\[
h^3 = 8
\]
Извлечём кубический корень:
\[
h = 2 \, \text{м}
\]
Таким образом, мы нашли высоту гаража.
Нахождение длины и ширины
Теперь, зная высоту, можем найти длину и ширину:
— Длина:
\[
l = 3h = 3 \cdot 2 = 6 \, \text{м}
\]
— Ширина:
\[
w = \frac{3h}{2} = \frac{3 \cdot 2}{2} = 3 \, \text{м}
\]
Ответ
Таким образом, размеры гаража составляют:
— Длина: \( 6 \, \text{м} \)
— Ширина: \( 3 \, \text{м} \)
— Высота: \( 2 \, \text{м} \)
Эти размеры удовлетворяют всем условиям задачи и обеспечивают объём гаража равный 36 м³.
