Учебное пособие «Алгебра, 7 класс» авторства Мордковича, Мардахаева и Семенова является важным ресурсом для школьников, желающих расширить свои знания в алгебре. Книга выделяется содержательной насыщенностью и продуманной методической организацией, что способствует более легкому и интересному освоению математического материала.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 3.14 Мордкович — Подробные Ответы
\[
\begin{array}{l}
\text{Вычислите:} \\
\text{а) } \frac{(15)^{13} \cdot 15}{(15)^{12}}; \quad
\text{б) } \frac{2^{6} \cdot (2^{3})^{5}}{2^{18}}; \quad
\text{в) } \frac{3^{11} \cdot 27}{9^{6}}; \\
\text{г) } \frac{(43)^{12}}{(43)^{6} \cdot (43)^{5}}; \quad
\text{д) } \frac{(5^{6})^{3} \cdot 5^{8}}{5^{22}}; \quad
\text{е) } \frac{(16)^{6}}{4^{7} \cdot 64}.
\end{array}
\]
а)
\[
\frac{15^{13}\cdot 15}{15^{12}} = \frac{15^{14}}{15^{12}}
\]
\[
=15^{14-12}=15^2=225
\]
б)
\[
\frac{2^6\cdot(2^3)^5}{2^{18}}=\frac{2^6\cdot 2^{15}}{2^{18}}
\]
\[
=2^{6+15-18}=2^3=8
\]
в)
\[
\frac{3^{11}\cdot 27}{9^6}=\frac{3^{11}\cdot 3^3}{(3^2)^6}
\]
\[
=\frac{3^{14}}{3^{12}}=3^{14-12}=3^2=9
\]
г)
\[
\frac{43^{12}}{43^6\cdot 43^5}=\frac{43^{12}}{43^{6+5}}
\]
\[
=43^{12-11}=43
\]
д)
\[
\frac{(5^6)^3\cdot 5^8}{5^{22}}=\frac{5^{18}\cdot 5^8}{5^{22}}
\]
\[
=5^{18+8-22}=5^4=625
\]
е)
\[
\frac{16^6}{4^7\cdot 64}=\frac{(2^4)^6}{(2^2)^7\cdot 2^6}
\]
\[
=\frac{2^{24}}{2^{14+6}}=2^{24-20}=2^4=16
\]
Рассмотрим каждое выражение подробно, применяя основные свойства степеней:
— При возведении степени в степень: \((a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}\)
— При умножении степеней с одинаковыми основаниями: \(a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}\)
— При делении степеней с одинаковыми основаниями: \(\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m — n}\)
а)
\[
\frac{15^{13} \cdot 15}{15^{12}}
\]
Запишем \(15\) как \(15^{1}\):
\[
= \frac{15^{13} \cdot 15^{1}}{15^{12}} = \frac{15^{13 + 1}}{15^{12}} = \frac{15^{14}}{15^{12}}
\]
Выполним деление степеней:
\[
= 15^{14 — 12} = 15^{2}
\]
Вычислим значение:
\[
15^{2} = 225
\]
б)
\[
\frac{2^{6} \cdot (2^{3})^{5}}{2^{18}}
\]
Сначала упростим \((2^{3})^{5}\):
\[
(2^{3})^{5} = 2^{3 \cdot 5} = 2^{15}
\]
Подставим:
\[
= \frac{2^{6} \cdot 2^{15}}{2^{18}} = \frac{2^{6 + 15}}{2^{18}} = \frac{2^{21}}{2^{18}}
\]
Выполним деление:
\[
= 2^{21 — 18} = 2^{3}
\]
Вычислим:
\[
2^{3} = 8
\]
в)
\[
\frac{3^{11} \cdot 27}{9^{6}}
\]
Представим все числа как степени числа \(3\):
\(27 = 3^{3}\), \(9 = 3^{2}\), значит \(9^{6} = (3^{2})^{6} = 3^{12}\)
\[
= \frac{3^{11} \cdot 3^{3}}{3^{12}} = \frac{3^{11 + 3}}{3^{12}} = \frac{3^{14}}{3^{12}}
\]
Выполним деление:
\[
= 3^{14 — 12} = 3^{2}
\]
Вычислим:
\[
3^{2} = 9
\]
г)
\[
\frac{43^{12}}{43^{6} \cdot 43^{5}}
\]
Сначала упростим знаменатель:
\[
43^{6} \cdot 43^{5} = 43^{6 + 5} = 43^{11}
\]
Теперь делим:
\[
= \frac{43^{12}}{43^{11}} = 43^{12 — 11} = 43^{1}
\]
\[
= 43
\]
д)
\[
\frac{(5^{6})^{3} \cdot 5^{8}}{5^{22}}
\]
Упростим \((5^{6})^{3}\):
\[
(5^{6})^{3} = 5^{6 \cdot 3} = 5^{18}
\]
Подставим:
\[
= \frac{5^{18} \cdot 5^{8}}{5^{22}} = \frac{5^{18 + 8}}{5^{22}} = \frac{5^{26}}{5^{22}}
\]
Выполним деление:
\[
= 5^{26 — 22} = 5^{4}
\]
Вычислим:
\[
5^{4} = 625
\]
е)
\[
\frac{16^{6}}{4^{7} \cdot 64}
\]
Представим всё как степени числа \(2\):
\(16 = 2^{4}\) → \(16^{6} = (2^{4})^{6} = 2^{24}\)
\(4 = 2^{2}\) → \(4^{7} = (2^{2})^{7} = 2^{14}\)
\(64 = 2^{6}\)
Тогда знаменатель: \(2^{14} \cdot 2^{6} = 2^{14 + 6} = 2^{20}\)
\[
= \frac{2^{24}}{2^{20}} = 2^{24 — 20} = 2^{4}
\]
Вычислим:
\[
2^{4} = 16
\]
