Учебное пособие «Алгебра, 7 класс» авторства Мордковича, Мардахаева и Семенова является важным ресурсом для школьников, желающих расширить свои знания в алгебре. Книга выделяется содержательной насыщенностью и продуманной методической организацией, что способствует более легкому и интересному освоению математического материала.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 3.17 Мордкович — Подробные Ответы
\[
\begin{array}{l}
\text{Решите уравнение:} \\
\text{а) } \frac{x^{17} \cdot x^{23}}{(x^{8})^{3} \cdot x^{5} \cdot (x^{2})^{3}} = -243; \quad
\text{б) } \frac{(x^{8})^{4} \cdot (x^{5})^{9}}{(x^{15})^{4} \cdot (x^{4})^{4}} = 5; \\
\text{в) } \frac{(x^{5})^{2} \cdot (x^{4})^{7} \cdot x}{x^{130} : (x^{25})^{4}} = 512; \quad
\text{г) } \frac{(x^{45})^{2} : (x^{40})^{2}}{(x^{5})^{4} : x^{17}} = -1.
\end{array}
\]
а)
\[
\frac{x^{17} \cdot x^{23}}{(x^{8})^{3} \cdot x^{5} \cdot (x^{2})^{3}} = \frac{x^{40}}{x^{24} \cdot x^{5} \cdot x^{6}} = \frac{x^{40}}{x^{35}} = x^{5}
\]
\[
x^{5} = -243 = (-3)^{5}
\]
\[
x = -3
\]
б)
\[
\frac{(x^{8})^{4} \cdot (x^{5})^{9}}{(x^{15})^{4} \cdot (x^{4})^{4}} = \frac{x^{32} \cdot x^{45}}{x^{60} \cdot x^{16}} = \frac{x^{77}}{x^{76}} = x
\]
\[
x = 5
\]
в)
\[
\frac{(x^{5})^{2} \cdot (x^{4})^{7} \cdot x}{x^{130} : (x^{25})^{4}} = \frac{x^{10} \cdot x^{28} \cdot x}{x^{130} : x^{100}} = \frac{x^{39}}{x^{30}} = x^{9}
\]
\[
x^{9} = 512 = 2^{9}
\]
\[
x = 2
\]
г)
\[
\frac{(x^{45})^{2} : (x^{40})^{2}}{(x^{5})^{4} : x^{17}} = \frac{x^{90} : x^{80}}{x^{20} : x^{17}} = \frac{x^{10}}{x^{3}} = x^{7}
\]
\[
x^{7} = -1
\]
\[
x = -1
\]
Рассмотрим каждое из уравнений по отдельности, применяя свойства степеней:
— \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \)
— \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \)
— \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \)
— \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \)
а) \(\displaystyle \frac{x^{17} \cdot x^{23}}{(x^8)^3 \cdot x^5 \cdot (x^2)^3} = -243\)
Упростим числитель:
\[
x^{17} \cdot x^{23} = x^{17 + 23} = x^{40}
\]
Упростим знаменатель:
\[
(x^8)^3 = x^{8 \cdot 3} = x^{24}, \quad (x^2)^3 = x^{2 \cdot 3} = x^6
\]
\[
(x^8)^3 \cdot x^5 \cdot (x^2)^3 = x^{24} \cdot x^5 \cdot x^6 = x^{24 + 5 + 6} = x^{35}
\]
Теперь уравнение принимает вид:
\[
\frac{x^{40}}{x^{35}} = x^{40 — 35} = x^5
\]
Следовательно:
\[
x^5 = -243
\]
Заметим, что \(-243 = -3^5\), так как \(3^5 = 243\).
\[
x^5 = -3^5 \Rightarrow x = -3
\]
Проверка: \((-3)^5 = -243\) — верно.
\[
x = -3
\]
б) \(\displaystyle \frac{(x^8)^4 \cdot (x^5)^9}{(x^{15})^4 \cdot (x^4)^4} = 5\)
Упростим числитель:
\[
(x^8)^4 = x^{8 \cdot 4} = x^{32}, \quad (x^5)^9 = x^{5 \cdot 9} = x^{45}
\]
\[
(x^8)^4 \cdot (x^5)^9 = x^{32 + 45} = x^{77}
\]
Упростим знаменатель:
\[
(x^{15})^4 = x^{15 \cdot 4} = x^{60}, \quad (x^4)^4 = x^{4 \cdot 4} = x^{16}
\]
\[
(x^{15})^4 \cdot (x^4)^4 = x^{60 + 16} = x^{76}
\]
Теперь уравнение:
\[
\frac{x^{77}}{x^{76}} = x^{77 — 76} = x^1 = x
\]
Следовательно:
\[
x = 5
\]
в) \(\displaystyle \frac{(x^5)^2 \cdot (x^4)^7 \cdot x}{x^{130} : (x^{25})^4} = 512\)
Сначала упростим числитель:
\[
(x^5)^2 = x^{10}, \quad (x^4)^7 = x^{28}
\]
\[
(x^5)^2 \cdot (x^4)^7 \cdot x = x^{10 + 28 + 1} = x^{39}
\]
Теперь знаменатель: деление \(x^{130} : (x^{25})^4\)
\[
(x^{25})^4 = x^{25 \cdot 4} = x^{100}
\]
\[
x^{130} : x^{100} = x^{130 — 100} = x^{30}
\]
Таким образом, всё выражение:
\[
\frac{x^{39}}{x^{30}} = x^{39 — 30} = x^9
\]
Получаем уравнение:
\[
x^9 = 512
\]
Заметим, что \(512 = 2^9\), так как \(2^9 = 512\).
\[
x^9 = 2^9 \Rightarrow x = 2
\]
г) \(\displaystyle \frac{(x^{45})^2 : (x^{40})^2}{(x^5)^4 : x^{17}} = -1\)
Упростим числитель:
\[
(x^{45})^2 = x^{90}, \quad (x^{40})^2 = x^{80}
\]
\[
(x^{45})^2 : (x^{40})^2 = x^{90 — 80} = x^{10}
\]
Упростим знаменатель:
\[
(x^5)^4 = x^{20}
\]
\[
(x^5)^4 : x^{17} = x^{20 — 17} = x^3
\]
Теперь всё выражение:
\[
\frac{x^{10}}{x^3} = x^{10 — 3} = x^7
\]
Получаем уравнение:
\[
x^7 = -1
\]
Решение: \(x = -1\), так как \((-1)^7 = -1\).
\[
x = -1
\]
Таким образом, решения уравнений:
а) \(x = -3\)
б) \(x = 5\)
в) \(x = 2\)
г) \(x = -1\)
