Учебное пособие «Алгебра, 7 класс» авторства Мордковича, Мардахаева и Семенова является важным ресурсом для школьников, желающих расширить свои знания в алгебре. Книга выделяется содержательной насыщенностью и продуманной методической организацией, что способствует более легкому и интересному освоению математического материала.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 3.20 Мордкович — Подробные Ответы
\[
\begin{array}{l}
\text{Запишите в виде степени с показателем } 3: \\
\text{а) } a^{3} b^{15}; \quad
\text{б) } 125q^{18} p^{33}; \quad
\text{в) } x^{3} y^{6} z^{24}; \quad
\text{г) } 27c^{12} d^{15} f^{27}.
\end{array}
\]
а)\[
a^3 b^{15} = a^3 \cdot (b^5)^3 = (a b^5)^3
\]
б)\[
125 q^{18} p^{33} = 5^3 \cdot (q^6)^3 \cdot (p^{11})^3 = (5 q^6 p^{11})^3
\]
в)\[
x^3 y^6 z^{24} = x^3 \cdot (y^2)^3 \cdot (z^8)^3 = (x y^2 z^8)^3
\]
г)\[
27 c^{12} d^{15} f^{27} = 3^3 \cdot (c^4)^3 \cdot (d^5)^3 \cdot (f^9)^3 = (3 c^4 d^5 f^9)^3
\]
Рассмотрим каждое выражение и преобразуем его к виду степени с показателем \(3\).
Для этого будем использовать следующие свойства степеней:
— \( (x^m)^n = x^{m \cdot n} \) — возведение степени в степень;
— \( x^{k} = (x^{k/3})^3 \), если \(k\) делится на \(3\);
— \( a^3 b^3 c^3 = (a b c)^3 \) — произведение степеней с одинаковым показателем.
Цель — выделить у каждого множителя показатель, кратный \(3\), и записать всё выражение как куб некоторого произведения.
а) \( a^{3} b^{15} \)
Разложим каждый множитель так, чтобы явно выделить степень с показателем \(3\):
\[
a^3 = (a)^3
\]
\[
b^{15} = b^{3 \cdot 5} = (b^5)^3
\]
Теперь объединим:
\[
a^3 \cdot b^{15} = (a)^3 \cdot (b^5)^3
\]
Применяем правило \( x^3 y^3 = (x y)^3 \):
\[
(a)^3 \cdot (b^5)^3 = (a \cdot b^5)^3
\]
\[
= (a b^5)^3
\]
б) \( 125 q^{18} p^{33} \)
Сначала разложим числовой коэффициент:
\[
125 = 5^3
\]
Теперь рассмотрим степени переменных:
\[
q^{18} = q^{3 \cdot 6} = (q^6)^3
\]
\[
p^{33} = p^{3 \cdot 11} = (p^{11})^3
\]
Теперь запишем всё выражение:
\[
125 q^{18} p^{33} = 5^3 \cdot (q^6)^3 \cdot (p^{11})^3
\]
Объединяем под общей степенью:
\[
5^3 \cdot (q^6)^3 \cdot (p^{11})^3 = (5 \cdot q^6 \cdot p^{11})^3
\]
\[
= (5 q^6 p^{11})^3
\]
в) \( x^{3} y^{6} z^{24} \)
Разложим каждую степень:
\[
x^3 = (x)^3
\]
\[
y^6 = y^{3 \cdot 2} = (y^2)^3
\]
\[
z^{24} = z^{3 \cdot 8} = (z^8)^3
\]
Теперь объединим:
\[
x^3 \cdot y^6 \cdot z^{24} = (x)^3 \cdot (y^2)^3 \cdot (z^8)^3
\]
Применяем правило произведения кубов:
\[
(x)^3 \cdot (y^2)^3 \cdot (z^8)^3 = (x \cdot y^2 \cdot z^8)^3
\]
\[
= (x y^2 z^8)^3
\]
г) \( 27 c^{12} d^{15} f^{27} \)
Разложим числовой коэффициент:
\[
27 = 3^3
\]
Разложим степени переменных:
\[
c^{12} = c^{3 \cdot 4} = (c^4)^3
\]
\[
d^{15} = d^{3 \cdot 5} = (d^5)^3
\]
\[
f^{27} = f^{3 \cdot 9} = (f^9)^3
\]
Теперь запишем всё выражение:
\[
27 c^{12} d^{15} f^{27} = 3^3 \cdot (c^4)^3 \cdot (d^5)^3 \cdot (f^9)^3
\]
Объединяем под общей степенью:
\[
3^3 \cdot (c^4)^3 \cdot (d^5)^3 \cdot (f^9)^3 = (3 \cdot c^4 \cdot d^5 \cdot f^9)^3
\]
\[
= (3 c^4 d^5 f^9)^3
\]
Таким образом, все выражения успешно записаны в виде степени с показателем \(3\).
