ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 3.21 Мордкович — Подробные Ответы

Выполните возведение дроби в степень:

а)\[
\left( \frac{3x}{2y} \right)^5
\]

б)\[
\left( \frac{6n}{7m} \right)^2
\]

в)\[
\left( -\frac{b}{3d} \right)^3
\]

г)\[
\left( -\frac{2p}{q} \right)^6
\]

д)\[
\left( \frac{a^3}{5b} \right)^4
\]

е)\[
\left( -\frac{4x}{y^2} \right)^3
\]

а)\[
\left( \frac{3x}{2y} \right)^5 = \frac{(3x)^5}{(2y)^5} = \frac{3^5 \cdot x^5}{2^5 \cdot y^5} = \frac{243\,x^5}{32\,y^5}
\]

б)\[
\left( \frac{6n}{7m} \right)^2 = \frac{(6n)^2}{(7m)^2} = \frac{6^2 \cdot n^2}{7^2 \cdot m^2} = \frac{36\,n^2}{49\,m^2}
\]

в)\[
\left( -\frac{b}{3d} \right)^3 = \frac{(-b)^3}{(3d)^3} = \frac{-b^3}{27\,d^3} = -\frac{b^3}{27\,d^3}
\]

г)\[
\left( -\frac{2p}{q} \right)^6 = \frac{(-2p)^6}{q^6} = \frac{(-1)^6 \cdot 2^6 \cdot p^6}{q^6} = \frac{64\,p^6}{q^6}
\]

д)\[
\left( \frac{a^3}{5b} \right)^4 = \frac{(a^3)^4}{(5b)^4} = \frac{a^{12}}{5^4 \cdot b^4} = \frac{a^{12}}{625\,b^4}
\]

е)\[
\left( -\frac{4x}{y^2} \right)^3 = \frac{(-4x)^3}{(y^2)^3} = \frac{-64\,x^3}{y^6} = -\frac{64\,x^3}{y^6}
\]

Выполним возведение каждой дроби в указанную степень, подробно применяя правила:

— \(\displaystyle \left( \frac{a}{b} \right)^n = \frac{a^n}{b^n}\);
— \((ab)^n = a^n b^n\);
— \((a^m)^n = a^{m n}\);
— Знак «минус» возводится в степень: \((-1)^n = 1\) при чётном \(n\), \((-1)^n = -1\) при нечётном \(n\).

а) \(\displaystyle \left( \frac{3x}{2y} \right)^5\)

Возводим числитель и знаменатель в пятую степень:

\[
\left( \frac{3x}{2y} \right)^5 = \frac{(3x)^5}{(2y)^5}
\]

Раскрываем степени произведений:

\[
(3x)^5 = 3^5 \cdot x^5 = 243\,x^5, \quad (2y)^5 = 2^5 \cdot y^5 = 32\,y^5
\]

Подставляем:

\[
\frac{(3x)^5}{(2y)^5} = \frac{243\,x^5}{32\,y^5}
\]

б) \(\displaystyle \left( \frac{6n}{7m} \right)^2\)

Возводим числитель и знаменатель в квадрат:

\[
\left( \frac{6n}{7m} \right)^2 = \frac{(6n)^2}{(7m)^2}
\]

Раскрываем:

\[
(6n)^2 = 6^2 \cdot n^2 = 36\,n^2, \quad (7m)^2 = 7^2 \cdot m^2 = 49\,m^2
\]

Получаем:

\[
\frac{36\,n^2}{49\,m^2}
\]

в) \(\displaystyle \left( -\frac{b}{3d} \right)^3\)

Знак «минус» можно вынести: \(\displaystyle \left( -\frac{b}{3d} \right)^3 = -\left( \frac{b}{3d} \right)^3\), так как степень нечётная.

Теперь возводим дробь в куб:

\[
\left( \frac{b}{3d} \right)^3 = \frac{b^3}{(3d)^3} = \frac{b^3}{27\,d^3}
\]

С учётом знака:

\[
-\frac{b^3}{27\,d^3}
\]

г) \(\displaystyle \left( -\frac{2p}{q} \right)^6\)

Степень чётная, поэтому минус исчезает: \((-1)^6 = 1\).

\[
\left( -\frac{2p}{q} \right)^6 = \frac{(2p)^6}{q^6}
\]

Раскрываем числитель:

\[
(2p)^6 = 2^6 \cdot p^6 = 64\,p^6
\]

Итог:

\[
\frac{64\,p^6}{q^6}
\]

д) \(\displaystyle \left( \frac{a^3}{5b} \right)^4\)

Возводим числитель и знаменатель в четвёртую степень:

\[
\left( \frac{a^3}{5b} \right)^4 = \frac{(a^3)^4}{(5b)^4}
\]

Упрощаем степени:

\[
(a^3)^4 = a^{3 \cdot 4} = a^{12}, \quad (5b)^4 = 5^4 \cdot b^4 = 625\,b^4
\]

Результат:

\[
\frac{a^{12}}{625\,b^4}
\]

е) \(\displaystyle \left( -\frac{4x}{y^2} \right)^3\)

Степень нечётная, поэтому знак «минус» сохраняется:

\[
\left( -\frac{4x}{y^2} \right)^3 = -\frac{(4x)^3}{(y^2)^3}
\]

Раскрываем степени:

\[
(4x)^3 = 4^3 \cdot x^3 = 64\,x^3, \quad (y^2)^3 = y^{2 \cdot 3} = y^6
\]

Окончательно:

\[
-\frac{64\,x^3}{y^6}
\]