ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 3.23 Мордкович — Подробные Ответы

а)
Площадь квадрата: \(S = a^{2}\).
Если сторону увеличить в 4 раза, новая площадь: \((4a)^{2} = 16a^{2}\).

\[
\frac{16a^{2}}{a^{2}} = 16
\]

Площадь увеличится в 16 раз.

б)
Объём куба: \(V = a^{3}\).
Если ребро уменьшить в 3 раза, новый объём: \(\left(\frac{a}{3}\right)^{3} = \frac{a^{3}}{27}\).

\[
\frac{a^{3}}{27} : a^{3} = \frac{1}{27}
\]

Объём уменьшится в 27 раз.

Рассмотрим обе задачи, используя формулы площади квадрата и объёма куба, а также свойства степеней.

а) Во сколько раз изменится площадь квадрата, если его сторону увеличить в 4 раза?

Пусть исходная длина стороны квадрата равна \( a \).
Тогда его площадь вычисляется по формуле:

\[
S_1 = a^2
\]

Если сторону увеличить в 4 раза, новая длина стороны станет:

\[
4a
\]

Найдём новую площадь:

\[
S_2 = (4a)^2
\]

Применим правило возведения произведения в степень:

\[
(4a)^2 = 4^2 \cdot a^2 = 16a^2
\]

Теперь найдём, во сколько раз изменилась площадь — разделим новую площадь на исходную:

\[
\frac{S_2}{S_1} = \frac{16a^2}{a^2} = 16
\]

\[
= 16
\]

Следовательно, площадь квадрата увеличится в 16 раз.

б) Во сколько раз изменится объём куба, если длину его ребра уменьшить в 3 раза?

Пусть исходная длина ребра куба равна \( a \).
Объём куба вычисляется по формуле:

\[
V_1 = a^3
\]

Если ребро уменьшить в 3 раза, новая длина станет:

\[
\frac{a}{3}
\]

Найдём новый объём:

\[
V_2 = \left( \frac{a}{3} \right)^3
\]

Возведём дробь в степень:

\[
\left( \frac{a}{3} \right)^3 = \frac{a^3}{3^3} = \frac{a^3}{27}
\]

Теперь найдём, во сколько раз изменился объём — разделим новый объём на исходный:

\[
\frac{V_2}{V_1} = \frac{\frac{a^3}{27}}{a^3} = \frac{1}{27}
\]

\[
= \frac{1}{27}
\]

Это означает, что объём куба уменьшится в 27 раз.

Ответы:
а) площадь увеличится в \(16\) раз;
б) объём уменьшится в \(27\) раз.