ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 3.24 Мордкович — Подробные Ответы

\[
\begin{array}{l}
\text{Найдите значение выражения рациональным способом:} \\
\text{а) } (1{,}25)^{3} \cdot (80)^{3}; \quad
\text{б) } (-0{,}4)^{4} \cdot (2{,}5)^{5}; \quad
\text{в) } \left(1\frac{1}{2}\right)^{7} \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)^{7}; \\
\text{г) } (0{,}04)^{5} \cdot (-25)^{5}; \quad
\text{д) } (125)^{6} \cdot (0{,}008)^{5}; \quad
\text{е) } \left(-\frac{3}{5}\right)^{6} \cdot \left(3\frac{1}{3}\right)^{6}.
\end{array}
\]

а)\[
(1{,}25)^3 \cdot (80)^3 = (1{,}25 \cdot 80)^3 = (100)^3 = 1\,000\,000
\]

б)\[
(-0{,}4)^4 \cdot (2{,}5)^5 = ((-0{,}4) \cdot 2{,}5)^4 \cdot 2{,}5 = (-1)^4 \cdot 2{,}5 = 1 \cdot 2{,}5 = 2{,}5
\]

в)\[
\left(1\frac{1}{2}\right)^7 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)^7 = \left(\frac{3}{2} \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)\right)^7 = (-1)^7 = -1
\]

г)\[
(0{,}04)^5 \cdot (-25)^5 = (0{,}04 \cdot (-25))^5 = (-1)^5 = -1
\]

д)\[
(125)^6 \cdot (0{,}008)^5 = (5^3)^6 \cdot (8 \cdot 10^{-3})^5 = 5^{18} \cdot (2^3 \cdot 10^{-3})^5=
\]

\[
5^{18} \cdot 2^{15} \cdot 10^{-15} = 5^{18} \cdot 2^{15} \cdot (2 \cdot 5)^{-15} = 5^{18} \cdot 2^{15} \cdot 2^{-15} \cdot 5^{-15} = 5^{3} = 125
\]

е)\[
\left(-\frac{3}{5}\right)^6 \cdot \left(3\frac{1}{3}\right)^6 = \left(-\frac{3}{5} \cdot \frac{10}{3}\right)^6 = (-2)^6 = 64
\]

а) \((1{,}25)^3 \cdot (80)^3\)

Оба множителя возводятся в одну и ту же степень — 3. Применим правило:

\[
a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n
\]

\[
(1{,}25)^3 \cdot (80)^3 = (1{,}25 \cdot 80)^3
\]

Вычислим произведение в скобках:

\[
1{,}25 \cdot 80 = \frac{5}{4} \cdot 80 = 5 \cdot 20 = 100
\]

Теперь возведём в куб:

\[
(100)^3 = 100 \cdot 100 \cdot 100 = 1\,000\,000
\]

\[
= 1\,000\,000
\]

б) \((-0{,}4)^4 \cdot (2{,}5)^5\)

Здесь степени разные: 4 и 5. Выделим общий множитель с одинаковой степенью:

\[
(-0{,}4)^4 \cdot (2{,}5)^5 = \big[(-0{,}4) \cdot 2{,}5\big]^4 \cdot 2{,}5
\]

Сначала найдём произведение в скобках:

\[
-0{,}4 \cdot 2{,}5 = -\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2} = -1
\]

Тогда:

\[
(-1)^4 \cdot 2{,}5 = 1 \cdot 2{,}5 = 2{,}5
\]

\[
= 2{,}5
\]

в) \(\left(1\frac{1}{2}\right)^7 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)^7\)

Обе степени равны 7, поэтому объединим основания:

\[
\left(1\frac{1}{2}\right)^7 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)^7 = \left(\frac{3}{2} \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)\right)^7
\]

Вычислим произведение:

\[
\frac{3}{2} \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) = -1
\]

Тогда:

\[
(-1)^7 = -1
\]

\[
= -1
\]

г) \((0{,}04)^5 \cdot (-25)^5\)

Степени одинаковые — 5. Объединим основания:

\[
(0{,}04)^5 \cdot (-25)^5 = \big(0{,}04 \cdot (-25)\big)^5
\]

Вычислим произведение:

\[
0{,}04 = \frac{4}{100} = \frac{1}{25}, \quad \frac{1}{25} \cdot (-25) = -1
\]

Тогда:

\[
(-1)^5 = -1
\]

\[
= -1
\]

д) \((125)^6 \cdot (0{,}008)^5\)

Разложим числа на простые множители и степени десяти.

\[
125 = 5^3 \quad \Rightarrow \quad (125)^6 = (5^3)^6 = 5^{18}
\]

\[
0{,}008 = \frac{8}{1000} = \frac{8}{10^3} = \frac{2^3}{(2 \cdot 5)^3} = \frac{2^3}{2^3 \cdot 5^3} = \frac{1}{5^3}
\]

Но проще:
\[
0{,}008 = 8 \cdot 10^{-3} = 2^3 \cdot (10^{-1})^3 = 2^3 \cdot 10^{-3}
\]

Тогда:

\[
(0{,}008)^5 = (2^3 \cdot 10^{-3})^5 = 2^{15} \cdot 10^{-15}
\]

А \(10^{-15} = (2 \cdot 5)^{-15} = 2^{-15} \cdot 5^{-15}\)

Теперь подставим всё:

\[
(125)^6 \cdot (0{,}008)^5 = 5^{18} \cdot 2^{15} \cdot 2^{-15} \cdot 5^{-15}
\]

Упростим степени:

\[
2^{15} \cdot 2^{-15} = 2^0 = 1, \quad 5^{18} \cdot 5^{-15} = 5^{3}
\]

\[
5^3 = 125
\]

\[
= 125
\]

е) \(\left(-\frac{3}{5}\right)^6 \cdot \left(3\frac{1}{3}\right)^6\)

Обе степени равны 6 — объединим основания:

\[
\left(-\frac{3}{5} \cdot 3\frac{1}{3}\right)^6
\]

Переведём смешанное число в неправильную дробь:

\[
3\frac{1}{3} = \frac{10}{3}
\]

Теперь умножим:

\[
-\frac{3}{5} \cdot \frac{10}{3} = -\frac{30}{15} = -2
\]

Возведём в 6-ю степень:

\[
(-2)^6 = 64
\]

\[
= 64
\]

Ответы:
а) \(1\,000\,000\)
б) \(2{,}5\)
в) \(-1\)
г) \(-1\)
д) \(125\)
е) \(64\)