Учебное пособие «Алгебра, 7 класс» авторства Мордковича, Мардахаева и Семенова является важным ресурсом для школьников, желающих расширить свои знания в алгебре. Книга выделяется содержательной насыщенностью и продуманной методической организацией, что способствует более легкому и интересному освоению математического материала.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 3.25 Мордкович — Подробные Ответы
\[
\begin{array}{l}
\text{Найдите значение выражения рациональным способом:} \\
\text{а) } \frac{3^{5} \cdot 4^{5}}{12^{3}}; \quad
\text{б) } \frac{(16)^{3} \cdot 3^{3}}{48^{3}}; \quad
\text{в) } \frac{10^{12}}{2^{6} \cdot 5^{6}}; \\
\text{г) } \frac{7^{11} \cdot 9^{11}}{63^{10}}; \quad
\text{д) } \frac{5^{16} \cdot 3^{16}}{15^{14}}; \quad
\text{е) } \frac{12^{6}}{3^{5} \cdot 4^{5}}.
\end{array}
\]
а)\[
\frac{3^5 \cdot 4^5}{12^3} = \frac{(3 \cdot 4)^5}{12^3} = \frac{12^5}{12^3} = 12^{5-3} = 12^2 = 144
\]
б)\[
\frac{16^3 \cdot 3^3}{48^3} = \frac{(16 \cdot 3)^3}{48^3} = \frac{48^3}{48^3} = 1
\]
в)\[
\frac{10^{12}}{2^6 \cdot 5^6} = \frac{(2 \cdot 5)^{12}}{(2 \cdot 5)^6} = \frac{10^{12}}{10^6} = 10^{6} = 1\,000\,000
\]
г)\[
\frac{7^{11} \cdot 9^{11}}{63^{10}} = \frac{(7 \cdot 9)^{11}}{63^{10}} = \frac{63^{11}}{63^{10}} = 63^{1} = 63
\]
д)\[
\frac{5^{16} \cdot 3^{16}}{15^{14}} = \frac{(5 \cdot 3)^{16}}{15^{14}} = \frac{15^{16}}{15^{14}} = 15^{2} = 225
\]
е)\[
\frac{12^6}{3^5 \cdot 4^5} = \frac{(3 \cdot 4)^6}{3^5 \cdot 4^5} = \frac{3^6 \cdot 4^6}{3^5 \cdot 4^5} = 3^{6-5} \cdot 4^{6-5} = 3 \cdot 4 = 12
\]
Решим каждое выражение рациональным способом, то есть с использованием свойств степеней, чтобы избежать громоздких вычислений. Основные правила, которые будем применять:
— \( a^n \cdot b^n = (ab)^n \)
— \( \frac{a^n}{b^n} = \left( \frac{a}{b} \right)^n \)
— \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \)
— \( (a^m)^n = a^{mn} \)
а) \(\displaystyle \frac{3^5 \cdot 4^5}{12^3}\)
В числителе оба множителя имеют одинаковую степень \(5\), поэтому объединим их:
\[
3^5 \cdot 4^5 = (3 \cdot 4)^5 = 12^5
\]
Теперь подставим в исходное выражение:
\[
\frac{12^5}{12^3}
\]
Применим правило деления степеней с одинаковым основанием:
\[
\frac{12^5}{12^3} = 12^{5 — 3} = 12^2
\]
Вычислим:
\[
12^2 = 144
\]
\[
= 144
\]
б) \(\displaystyle \frac{16^3 \cdot 3^3}{48^3}\)
Числитель: оба множителя возводятся в степень \(3\), объединим:
\[
16^3 \cdot 3^3 = (16 \cdot 3)^3 = 48^3
\]
Подставим:
\[
\frac{48^3}{48^3} = 1
\]
\[
= 1
\]
в) \(\displaystyle \frac{10^{12}}{2^6 \cdot 5^6}\)
Знаменатель: оба множителя имеют степень \(6\), объединим:
\[
2^6 \cdot 5^6 = (2 \cdot 5)^6 = 10^6
\]
Теперь выражение:
\[
\frac{10^{12}}{10^6} = 10^{12 — 6} = 10^6
\]
Вычислим:
\[
10^6 = 1\,000\,000
\]
\[
= 1\,000\,000
\]
г) \(\displaystyle \frac{7^{11} \cdot 9^{11}}{63^{10}}\)
Числитель: степени одинаковые — \(11\), объединим основания:
\[
7^{11} \cdot 9^{11} = (7 \cdot 9)^{11} = 63^{11}
\]
Теперь:
\[
\frac{63^{11}}{63^{10}} = 63^{11 — 10} = 63^1 = 63
\]
\[
= 63
\]
д) \(\displaystyle \frac{5^{16} \cdot 3^{16}}{15^{14}}\)
Числитель: объединяем основания:
\[
5^{16} \cdot 3^{16} = (5 \cdot 3)^{16} = 15^{16}
\]
Теперь:
\[
\frac{15^{16}}{15^{14}} = 15^{16 — 14} = 15^2
\]
Вычислим:
\[
15^2 = 225
\]
\[
= 225
\]
е) \(\displaystyle \frac{12^6}{3^5 \cdot 4^5}\)
Представим числитель как произведение:
\[
12 = 3 \cdot 4 \quad \Rightarrow \quad 12^6 = (3 \cdot 4)^6 = 3^6 \cdot 4^6
\]
Теперь подставим:
\[
\frac{3^6 \cdot 4^6}{3^5 \cdot 4^5}
\]
Разделим степени с одинаковыми основаниями:
\[
\frac{3^6}{3^5} = 3^{6 — 5} = 3^1 = 3
\]
\[
\frac{4^6}{4^5} = 4^{6 — 5} = 4^1 = 4
\]
Перемножим:
\[
3 \cdot 4 = 12
\]
\[
= 12
\]
