ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 3.26 Мордкович — Подробные Ответы

\[
\begin{array}{l}
\text{Сравните:} \\
\text{а) } (10x)^{5} \text{ и } 10x^{4}, \text{ если } x > 0; \\
\text{б) } \frac{a^{9}}{7} \text{ и } \left(\frac{a}{7}\right)^{9}, \text{ если } a > 0; \\
\text{в) } 9a^{7} \text{ и } (9a)^{7}, \text{ если } a < 0; \\
\text{г) } \left(\frac{x}{5}\right)^{3} \text{ и } \frac{x^{5}}{3}, \text{ если } x < 0.
\end{array}
\]

а) \((10x)^5 > 10x^4\), если \(x > 0\);

б) \(\frac{a^9}{7} > \left( \frac{a}{7} \right)^9\), если \(a > 0\);

в) \(9a^7 > (9a)^7\), если \(a < 0\);

г) \(\left( \frac{x}{5} \right)^3 > \frac{x^5}{3}\), если \(x < 0\).

а) \((10x)^5\) и \(10x^4\), если \(x > 0\)

Раскроем степень в первом выражении:

\[
(10x)^5 = 10^5 \cdot x^5 = 100\,000 \, x^5
\]

Поскольку \(x > 0\), оба выражения положительны. Сравним:

\[
100\,000\,x^5 \quad \text{и} \quad 10x^4
\]

Разделим обе части на \(10x^4 > 0\):

\[
\frac{100\,000\,x^5}{10x^4} = 10\,000\,x > 1
\]

Следовательно, \((10x)^5 > 10x^4\) при \(x > 0\).

б) \(\frac{a^9}{7}\) и \(\left( \frac{a}{7} \right)^9\), если \(a > 0\)

Преобразуем второе выражение:

\[
\left( \frac{a}{7} \right)^9 = \frac{a^9}{7^9}
\]

Теперь сравниваем \(\frac{a^9}{7}\) и \(\frac{a^9}{7^9}\). Так как \(a > 0\), то \(a^9 > 0\).
Знаменатель \(7 < 7^9\), значит дробь с меньшим знаменателем больше:

\[
\frac{a^9}{7} > \frac{a^9}{7^9}
\]

Следовательно, \(\frac{a^9}{7} > \left( \frac{a}{7} \right)^9\) при \(a > 0\).

в) \(9a^7\) и \((9a)^7\), если \(a < 0\)

Раскроем второе выражение:

\[
(9a)^7 = 9^7 \cdot a^7
\]

Поскольку \(a < 0\), нечётная степень сохраняет знак: \(a^7 < 0\).
Сравниваем \(9a^7\) и \(9^7 a^7\). Оба числа отрицательны.
Так как \(9^7 > 9\), то \(9^7 a^7 < 9a^7\) (умножение отрицательного числа на большее положительное даёт меньшее значение).
Следовательно, \(9a^7 > (9a)^7\) при \(a < 0\).

г) \(\left( \frac{x}{5} \right)^3\) и \(\frac{x^5}{3}\), если \(x < 0\)

Преобразуем первое выражение:

\[
\left( \frac{x}{5} \right)^3 = \frac{x^3}{125}
\]

При \(x < 0\) обе степени нечётные, поэтому \(x^3 < 0\) и \(x^5 < 0\).
Сравним \(\frac{x^3}{125}\) и \(\frac{x^5}{3}\).
Рассмотрим разность:

\[
\frac{x^3}{125} — \frac{x^5}{3} = x^3 \left( \frac{1}{125} — \frac{x^2}{3} \right)
\]

Поскольку \(x^3 < 0\) и \(x^2 > 0\), то \(\frac{x^2}{3} > 0\), а значит \(\frac{1}{125} — \frac{x^2}{3} < 0\) при любом \(x \ne 0\).
Произведение двух отрицательных чисел положительно:

\[
x^3 \left( \frac{1}{125} — \frac{x^2}{3} \right) > 0
\]

Следовательно, \(\frac{x^3}{125} > \frac{x^5}{3}\), то есть \(\left( \frac{x}{5} \right)^3 > \frac{x^5}{3}\) при \(x < 0\).