ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 3.27 Мордкович — Подробные Ответы

\[
\begin{array}{l}
\text{Решите уравнение:} \\
\text{а) } 5x^{3} = 40; \quad
\text{в) } 4x^{5} = -12\,500; \\
\text{б) } (3x)^{3} = -729; \quad
\text{г) } (5x)^{4} = 10\,000.
\end{array}
\]

а)
\[
5x^{3} = 40
\]

\[
x^{3} = \frac{40}{5} = 8
\]

\[
x = \sqrt[3]{8} = 2
\]

в)
\[
4x^{5} = -12\,500
\]

\[
x^{5} = \frac{-12\,500}{4} = -3\,125
\]

\[
x = \sqrt[5]{-3\,125} = -5
\]

б)
\[
(3x)^{3} = -729
\]

\[
3x = \sqrt[3]{-729} = -9
\]

\[
x = \frac{-9}{3} = -3
\]

г)
\[
(5x)^{4} = 10\,000
\]

\[
5x = \pm \sqrt[4]{10\,000} = \pm 10
\]

\[
x = \frac{10}{5} = 2 \quad \text{или} \quad x = \frac{-10}{5} = 2
\]

а) \(5x^3 = 40\)

Разделим обе части уравнения на 5, чтобы изолировать степень:

\[
x^3 = \frac{40}{5}
\]

\[
x^3 = 8
\]

Теперь найдём кубический корень из обеих частей. Поскольку показатель степени нечётный, уравнение имеет ровно одно действительное решение:

\[
x = \sqrt[3]{8}
\]

\[
x = 2
\]

б) \((3x)^3 = -729\)

Сначала извлечём кубический корень из обеих частей. Так как степень нечётная, корень из отрицательного числа определён:

\[
3x = \sqrt[3]{-729}
\]

Заметим, что \(729 = 9^3 = (3^2)^3 = 3^6\), но проще: \(9^3 = 729\), значит:

\[
\sqrt[3]{-729} = -9
\]

\[
3x = -9
\]

Разделим обе части на 3:

\[
x = \frac{-9}{3}
\]

\[
x = -3
\]

в) \(4x^5 = -12\,500\)

Разделим обе части на 4:

\[
x^5 = \frac{-12\,500}{4}
\]

\[
x^5 = -3\,125
\]

Теперь извлечём корень пятой степени (нечётной степени — решение единственно и сохраняет знак):

\[
x = \sqrt[5]{-3\,125}
\]

Заметим, что \(5^5 = 3125\), так как:
\(5^2 = 25\), \(5^3 = 125\), \(5^4 = 625\), \(5^5 = 3\,125\).

Следовательно:

\[
x = -5
\]

г) \((5x)^4 = 10\,000\)

Степень чётная, поэтому уравнение может иметь два действительных решения (положительное и отрицательное).

Извлечём корень четвёртой степени из обеих частей. Учтём оба знака:

\[
5x = \pm \sqrt[4]{10\,000}
\]

Разложим \(10\,000\):

\[
10\,000 = 10^4 = (2 \cdot 5)^4 = 2^4 \cdot 5^4
\]

Тогда:

\[
\sqrt[4]{10\,000} = \sqrt[4]{10^4} = 10
\]

Следовательно:

\[
5x = \pm 10
\]

Рассмотрим оба случая.

Первый случай:

\[
5x = 10 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{10}{5} = 2
\]

Второй случай:

\[
5x = -10 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{-10}{5} = 2
\]

Итак, уравнение имеет два решения.

Ответы:

а) \(x = 2\)
б) \(x = -3\)
в) \(x = -5\)
г) \(x = 2\) или \(x = 2\)