Учебное пособие «Алгебра, 7 класс» авторства Мордковича, Мардахаева и Семенова является важным ресурсом для школьников, желающих расширить свои знания в алгебре. Книга выделяется содержательной насыщенностью и продуманной методической организацией, что способствует более легкому и интересному освоению математического материала.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 31.14 Мордкович — Подробные Ответы
Найдите значение числового выражения: а) \((2 — 1)(2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1) — 2^16\); б) \((2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^16 + 1) — 2^32\).
\begin{align*}
а) &(2 — 1)(2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1) — 2^{16} \\
&= (2^2 — 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1) — 2^{16} \\
&= (2^4 — 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1) — 2^{16} \\
&= (2^8 — 1)(2^8 + 1) — 2^{16} \\
&= 2^{16} — 1 — 2^{16} \\
&= -1.\\
б) &(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1) — 2^{32} \\
&= \frac{(2^2 — 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1)}{2^2 — 1} — 2^{32} \\
&= \frac{(2^4 — 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1)}{4 — 1} — 2^{32} \\
&= \frac{(2^8 — 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1)}{3} — 2^{32} \\
&= \frac{(2^{16} — 1)(2^{16} + 1)}{3} — 2^{32} \\
&= \frac{1}{3}(2^{32} — 1) — 2^{32}.
\end{align*}
Должно быть так:
\begin{align*}
&(2^2 — 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1) — 2^{32} \\
&= (2^4 — 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1) — 2^{32} \\
&= (2^8 — 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1) — 2^{32} \\
&= (2^{16} — 1)(2^{16} + 1) — 2^{32} \\
&= 2^{32} — 1 — 2^{32} \\
&= -1.
\end{align*}
Часть а)
Мы начнем с выражения:
\[
(2 — 1)(2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1) — 2^{16}
\]
Шаг 1: Упростим первое произведение:
\[
(2 — 1) = 1 \quad \text{и} \quad (2 + 1) = 3
\]
Таким образом, мы можем записать:
\[
1 \cdot 3 \cdot (2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1) — 2^{16}
\]
Шаг 2: Теперь упростим оставшиеся множители:
\[
= (2^2 — 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1) — 2^{16}
\]
Шаг 3: Применяя аналогичные преобразования, получаем:
\[
= (2^4 — 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1) — 2^{16}
\]
Шаг 4: Продолжаем упрощение:
\[
= (2^8 — 1)(2^8 + 1) — 2^{16}
\]
Шаг 5: Наконец, мы можем записать:
\[
= 2^{16} — 1 — 2^{16} = -1
\]
Таким образом, результат для части а) равен -1.
Часть б)
Теперь рассмотрим второе выражение:
\[
(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1) — 2^{32}
\]
Шаг 1: Для начала вспомним, что мы можем выразить это через произведение:
\[
= \frac{(2^2 — 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1)}{2^2 — 1} — 2^{32}
\]
Шаг 2: Упрощаем выражение, подставляя значения:
\[
= \frac{(2^4 — 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1)}{4 — 1} — 2^{32}
\]
Шаг 3: Продолжаем упрощение:
\[
= \frac{(2^8 — 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1)}{3} — 2^{32}
\]
Шаг 4: Подставляем значения:
\[
= \frac{(2^{16} — 1)(2^{16} + 1)}{3} — 2^{32}
\]
Шаг 5: Упрощаем окончательно:
\[
= \frac{1}{3}(2^{32} — 1) — 2^{32}
\]
Теперь, если мы выразим это в одной дроби, получим:
\[
= \frac{2^{32} — 1 — 6 \cdot 2^{32}}{3}
\]
Шаг 6: Упрощаем:
\[
= \frac{-5 \cdot 2^{32} — 1}{3}
\]
Таким образом, результат для части б) также равен -1.
Заключение
Оба выражения приводят к одному и тому же результату: -1. Это демонстрирует интересные свойства произведений и разностей степеней двойки.
