Учебное пособие «Алгебра, 7 класс» авторства Мордковича, Мардахаева и Семенова является важным ресурсом для школьников, желающих расширить свои знания в алгебре. Книга выделяется содержательной насыщенностью и продуманной методической организацией, что способствует более легкому и интересному освоению математического материала.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 31.15 Мордкович — Подробные Ответы
Докажите равенство: \((3^2 + 2^2)(3^4 + 2^4)(3^8 + 2^8)(3^16 + 2^16) = 0,2(3^32 — 2^32)\).
\( (3^2 + 2^2)(3^4 + 2^4)(3^8 + 2^8)(3^{16} + 2^{16}) = \frac{1}{5}(3^{32} — 2^{32}) \)
\( (3^2 — 2^2)(3^2 + 2^2)(3^4 + 2^4)(3^8 + 2^8)(3^{16} + 2^{16})\)
\(= (3^4 — 2^4)(3^4 + 2^4)(3^8 + 2^8)(3^{16} + 2^{16}) \)
\( (3^4 — 2^4)(3^4 + 2^4)(3^8 + 2^8)(3^{16} + 2^{16}) = (3^8 — 2^8)(3^8 + 2^8)(3^{16} + 2^{16}) \)
\( (3^8 — 2^8)(3^8 + 2^8)(3^{16} + 2^{16}) = (3^{16} — 2^{16})(3^{16} + 2^{16}) \)
\( (3^{16} — 2^{16})(3^{16} + 2^{16}) = 3^{32} — 2^{32} \)
\( (3^2 — 2^2)(3^2 + 2^2)(3^4 + 2^4)(3^8 + 2^8)(3^{16} + 2^{16}) = 3^{32} — 2^{32} \)
\( (3^2 — 2^2) = 9 — 4 = 5 \)
\( 5(3^2 + 2^2)(3^4 + 2^4)(3^8 + 2^8)(3^{16} + 2^{16}) = 3^{32} — 2^{32} \)
\( (3^2 + 2^2)(3^4 + 2^4)(3^8 + 2^8)(3^{16} + 2^{16}) = \frac{1}{5}(3^{32} — 2^{32}) \)
\( \frac{1}{5} = 0.2 \)
\( (3^2 + 2^2)(3^4 + 2^4)(3^8 + 2^8)(3^{16} + 2^{16}) = 0.2(3^{32} — 2^{32}) \)
Условие: Доказать равенство: \((3^2 + 2^2)(3^4 + 2^4)(3^8 + 2^8)(3^{16} + 2^{16}) = 0.2(3^{32} — 2^{32})\).
Решение:
Умножим обе части уравнения на \((3^2 — 2^2)\):
\((3^2 — 2^2)(3^2 + 2^2)(3^4 + 2^4)(3^8 + 2^8)(3^{16} + 2^{16}) = (3^2 — 2^2) \cdot 0.2(3^{32} — 2^{32})\)
— умножили на \((3^2 — 2^2)\)
Применим формулу разности квадратов: \((a — b)(a + b) = a^2 — b^2\)
\((3^4 — 2^4)(3^4 + 2^4)(3^8 + 2^8)(3^{16} + 2^{16}) = (3^2 — 2^2) \cdot 0.2(3^{32} — 2^{32})\)
— упростили
\((3^8 — 2^8)(3^8 + 2^8)(3^{16} + 2^{16}) = (3^2 — 2^2) \cdot 0.2(3^{32} — 2^{32})\)
— упростили
\((3^{16} — 2^{16})(3^{16} + 2^{16}) = (3^2 — 2^2) \cdot 0.2(3^{32} — 2^{32})\)
— упростили
\(3^{32} — 2^{32} = (3^2 — 2^2) \cdot 0.2(3^{32} — 2^{32})\)
— упростили
\(3^{32} — 2^{32} = (9 — 4) \cdot 0.2(3^{32} — 2^{32})\)
— вычислили
\(3^{32} — 2^{32} = 5 \cdot 0.2(3^{32} — 2^{32})\)
— вычислили
\(3^{32} — 2^{32} = 1 \cdot (3^{32} — 2^{32})\)
— вычислили
\(3^{32} — 2^{32} = 3^{32} — 2^{32}\)
— получили тождество
Равенство доказано.
