Учебное пособие «Алгебра, 7 класс» авторства Мордковича, Мардахаева и Семенова является важным ресурсом для школьников, желающих расширить свои знания в алгебре. Книга выделяется содержательной насыщенностью и продуманной методической организацией, что способствует более легкому и интересному освоению математического материала.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 32.11 Мордкович — Подробные Ответы
Замените символ * одночленами гак, чтобы получилось верное равенство:
а. \( (x + 2)(x^2 — 2x + 4) = x^3 + 8 \)
б. \( (3x — 5)(9x^2 + 15x + 25) = 27x^3 — 125 \)
в. \( (y — 4)(y^2 + 4y + 16) = y^3 — 64 \)
г. \( (x + 2y)(x^2 — 2xy + 4y^2) = x^3 + 8y^3 \)
a)
\( (x + 2)(x^2 — 2x + 4) = x^3 + 8 \)
б)
\( (3x — 5)(9x^2 + 15x + 25) = 27x^3 — 125 \)
в)
\( (y — 4)(y^2 + 4y + 16) = y^3 — 64 \)
г)
\( (x + 2y)(x^2 — 2xy + 4y^2) = x^3 + 8y^3 \)
Решение
а) \( (x + 2)(x^2 — 2x + 4) \)
Рассмотрим произведение:
\[
(x + 2)(x^2 — 2x + 4)
\]
Шаг 1: Раскроем скобки, используя распределительный закон:
\[
= x(x^2 — 2x + 4) + 2(x^2 — 2x + 4)
\]
Шаг 2: Упростим каждую часть:
\[
= x^3 — 2x^2 + 4x + 2x^2 — 4x + 8
\]
Шаг 3: Объединим подобные члены:
\[
= x^3 + 8
\]
Вывод: Мы видим, что \( (x + 2)(x^2 — 2x + 4) = x^3 + 8 \). Это является разложением суммы кубов: \( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 — ab + b^2) \), где \( a = x \) и \( b = 2 \).
б) \( (3x — 5)(9x^2 + 15x + 25) \)
Теперь рассмотрим произведение:
\[
(3x — 5)(9x^2 + 15x + 25)
\]
Шаг 1: Раскроем скобки:
\[
= 3x(9x^2 + 15x + 25) — 5(9x^2 + 15x + 25)
\]
Шаг 2: Упростим каждую часть:
\[
= 27x^3 + 45x^2 + 75x — 45x^2 — 75x — 125
\]
Шаг 3: Объединим подобные члены:
\[
= 27x^3 — 125
\]
Вывод: Мы видим, что \( (3x — 5)(9x^2 + 15x + 25) = 27x^3 — 125 \). Это является разложением разности кубов: \( a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2) \), где \( a = 3x \) и \( b = 5 \).
в) \( (y — 4)(y^2 + 4y + 16) \)
Теперь рассмотрим произведение:
\[
(y — 4)(y^2 + 4y + 16)
\]
Шаг 1: Раскроем скобки:
\[
= y(y^2 + 4y + 16) — 4(y^2 + 4y + 16)
\]
Шаг 2: Упростим каждую часть:
\[
= y^3 + 4y^2 + 16y — 4y^2 — 16y — 64
\]
Шаг 3: Объединим подобные члены:
\[
= y^3 — 64
\]
Вывод: Мы видим, что \( (y — 4)(y^2 + 4y + 16) = y^3 — 64 \). Это является разложением разности кубов: \( a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2) \), где \( a = y \) и \( b = 4 \).
г) \( (x + 2y)(x^2 — 2xy + 4y^2) \)
Теперь рассмотрим произведение:
\[
(x + 2y)(x^2 — 2xy + 4y^2)
\]
Шаг 1: Раскроем скобки:
\[
= x(x^2 — 2xy + 4y^2) + 2y(x^2 — 2xy + 4y^2)
\]
Шаг 2: Упростим каждую часть:
\[
= x^3 — 2x^2y + 4xy^2 + 2yx^2 — 4y^2x + 8y^3
\]
Шаг 3: Объединим подобные члены:
\[
= x^3 + 8y^3
\]
Вывод: Мы видим, что \( (x + 2y)(x^2 — 2xy + 4y^2) = x^3 + 8y^3 \). Это является разложением суммы кубов: \( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 — ab + b^2) \), где \( a = x \) и \( b = 2y \).
Итоговые результаты
Мы рассмотрели каждое произведение и показали, как они приводят к равенствам:
1. \( (x + 2)(x^2 — 2x + 4) = x^3 + 8 \)
2. \( (3x — 5)(9x^2 + 15x + 25) = 27x^3 — 125 \)
3. \( (y — 4)(y^2 + 4y + 16) = y^3 — 64 \)
4. \( (x + 2y)(x^2 — 2xy + 4y^2) = x^3 + 8y^3 \)
Эти равенства демонстрируют свойства разложения кубов и разности кубов в алгебре.
