Учебное пособие «Алгебра, 7 класс» авторства Мордковича, Мардахаева и Семенова является важным ресурсом для школьников, желающих расширить свои знания в алгебре. Книга выделяется содержательной насыщенностью и продуманной методической организацией, что способствует более легкому и интересному освоению математического материала.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 37.13 Мордкович — Подробные Ответы
Сократите алгебраическую дробь:
а) \(\frac{a^2 — b^2}{3a — 2a^2 + 3b — 2ab}\);
б) \(\frac{2nm — 3 + 3n — 2m}{9 + 12m + 4m^2}\);
в) \(\frac{a^5 — a^2b^3 — a^3b^2 + b^5}{a^3 + 2a^2b + 2ab^2 + b^3}\);
г) \(\frac{x^2 — y^2}{x^2 + xy — xz — yz}\);
д) \(\frac{3xy — 2x — 3y + 2}{x^2 — 2x + 1}\);
е) \(\frac{m^3 — 2m^2n + 2mn^2 — n^3}{m^5 + m^2n^3 — m^3n^2 — n^5}\).
а)
\( \frac{a^{2} — b^{2}}{3a — 2a^{2} + 3b — 2ab} = \frac{(a — b)(a + b)}{3(a + b) — 2a(a + b)} \)
\( = \frac{(a — b)(a + b)}{(a + b)(3 — 2a)} = \frac{a — b}{3 — 2a} \)
б)
\( \frac{2nm — 3 + 3n — 2m}{9 + 12m + 4m^{2}} = \frac{2m(n — 1) + 3(n — 1)}{(3 + 2m)^{2}} \)
\( = \frac{(n — 1)(2m + 3)}{(2m + 3)^{2}} = \frac{n — 1}{2m + 3} \)
в)
\( \frac{a^{5} — a^{2}b^{3} — a^{3}b^{2} + b^{5}}{a^{3} + 2a^{2}b + 2ab^{2} + b^{3}} = \frac{a^{2}(a^{3} — b^{3}) — b^{2}(a^{3} — b^{3})}{a^{3} + a^{2}b + a^{2}b + ab^{2} + ab^{2} + b^{3}} \)
\( = \frac{(a^{2} — b^{2})(a^{3} — b^{3})}{a^{2}(a + b) + ab(a + b) + b^{2}(a + b)} = \frac{(a — b)(a + b)(a — b)(a^{2} + ab + b^{2})}{(a + b)(a^{2} + ab + b^{2})} \)
\( = (a — b)^{2} \)
г)
\( \frac{x^{2} — y^{2}}{x^{2} + xy — xz — yz} = \frac{(x — y)(x + y)}{x(x + y) — z(x + y)} \)
\( = \frac{(x — y)(x + y)}{(x + y)(x — z)} = \frac{x — y}{x — z} \)
д)
\( \frac{3xy — 2x — 3y + 2}{x^{2} — 2x + 1} = \frac{x(3y — 2) — (3y — 2)}{(x — 1)^{2}} \)
\( = \frac{(x — 1)(3y — 2)}{(x — 1)^{2}} = \frac{3y — 2}{x — 1} \)
е)
\( \frac{m^{3} — 2m^{2}n + 2mn^{2} — n^{3}}{m^{5} + m^{2}n^{3} — m^{3}n^{2} — n^{5}} = \frac{m^{3} — m^{2}n — m^{2}n + mn^{2} + mn^{2} — n^{3}}{m^{5} — m^{3}n^{2} + m^{2}n^{3} — n^{5}} \)
\( = \frac{m^{2}(m — n) — mn(m — n) + n^{2}(m — n)}{m^{3}(m^{2} — n^{2}) + n^{3}(m^{2} — n^{2})} = \frac{(m — n)(m^{2} — mn + n^{2})}{(m^{2} — n^{2})(m^{3} + n^{3})} \)
\( = \frac{(m — n)(m^{2} — mn + n^{2})}{(m — n)(m + n)(m + n)(m^{2} — mn + n^{2})} = \frac{1}{(m + n)^{2}} \)
а)
\( \frac{a^{2} — b^{2}}{3a — 2a^{2} + 3b — 2ab} \)
\( a^{2} — b^{2} = (a — b)(a + b) \)
— разность квадратов
\( 3a — 2a^{2} + 3b — 2ab = 3(a + b) — 2a(a + b) = (a + b)(3 — 2a) \)
— группировка
\( \frac{(a — b)(a + b)}{(a + b)(3 — 2a)} = \frac{a — b}{3 — 2a} \)
— сокращение
б)
\( \frac{2nm — 3 + 3n — 2m}{9 + 12m + 4m^{2}} \)
\( 2nm — 3 + 3n — 2m = 2m(n — 1) + 3(n — 1) = (n — 1)(2m + 3) \)
— группировка
\( 9 + 12m + 4m^{2} = (2m + 3)^{2} \)
— квадрат суммы
\( \frac{(n — 1)(2m + 3)}{(2m + 3)^{2}} = \frac{n — 1}{2m + 3} \)
— сокращение
в)
\( \frac{a^{5} — a^{2}b^{3} — a^{3}b^{2} + b^{5}}{a^{3} + 2a^{2}b + 2ab^{2} + b^{3}} \)
\( a^{5} — a^{2}b^{3} — a^{3}b^{2} + b^{5} = a^{2}(a^{3} — b^{3}) — b^{2}(a^{3} — b^{3}) =\)
\((a^{2} — b^{2})(a^{3} — b^{3}) = (a — b)(a + b)(a — b)(a^{2} + ab + b^{2})\)
\(= (a — b)^{2}(a + b)(a^{2} + ab + b^{2}) \)
— группировка и разность кубов
\( a^{3} + 2a^{2}b + 2ab^{2} + b^{3} = (a^{3} + b^{3}) + 2ab(a + b) =\)
\((a + b)(a^{2} — ab + b^{2}) + 2ab(a + b) = (a + b)(a^{2} + ab + b^{2}) \)
— сумма кубов и вынесение общего множителя
\( \frac{(a — b)^{2}(a + b)(a^{2} + ab + b^{2})}{(a + b)(a^{2} + ab + b^{2})} = (a — b)^{2} \)
— сокращение
г)
\( \frac{x^{2} — y^{2}}{x^{2} + xy — xz — yz} \)
\( x^{2} — y^{2} = (x — y)(x + y) \)
— разность квадратов
\( x^{2} + xy — xz — yz = x(x + y) — z(x + y) = (x + y)(x — z) \)
— группировка
\( \frac{(x — y)(x + y)}{(x + y)(x — z)} = \frac{x — y}{x — z} \)
— сокращение
д)
\( \frac{3xy — 2x — 3y + 2}{x^{2} — 2x + 1} \)
\( 3xy — 2x — 3y + 2 = x(3y — 2) — (3y — 2) = (x — 1)(3y — 2) \)
— группировка
\( x^{2} — 2x + 1 = (x — 1)^{2} \)
— квадрат разности
\( \frac{(x — 1)(3y — 2)}{(x — 1)^{2}} = \frac{3y — 2}{x — 1} \)
— сокращение
е)
\( \frac{m^{3} — 2m^{2}n + 2mn^{2} — n^{3}}{m^{5} + m^{2}n^{3} — m^{3}n^{2} — n^{5}} \)
\( m^{3} — 2m^{2}n + 2mn^{2} — n^{3} = m^{3} — n^{3} — 2mn(m — n)\)
\(= (m — n)(m^{2} + mn + n^{2}) — 2mn(m — n) = (m — n)(m^{2} — mn + n^{2}) \)
— разность кубов и вынесение общего множителя
\( m^{5} + m^{2}n^{3} — m^{3}n^{2} — n^{5} = m^{2}(m^{3} + n^{3}) — n^{2}(m^{3} + n^{3}) =\)
\((m^{2} — n^{2})(m^{3} + n^{3}) = (m — n)(m + n)(m + n)(m^{2} — mn + n^{2})\)
\(= (m — n)(m + n)^{2}(m^{2} — mn + n^{2}) \)
— группировка и сумма кубов
\( \frac{(m — n)(m^{2} — mn + n^{2})}{(m — n)(m + n)^{2}(m^{2} — mn + n^{2})} = \frac{1}{(m + n)^{2}} \)
— сокращение
Ответы:
а)
\( \frac{a — b}{3 — 2a} \)
б)
\( \frac{n — 1}{2m + 3} \)
в)
\( (a — b)^{2} \)
г)
\( \frac{x — y}{x — z} \)
д)
\( \frac{3y — 2}{x — 1} \)
е)
\( \frac{1}{(m + n)^{2}} \)
