ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 37.14 Мордкович — Подробные Ответы

Найдите значение данного алгебраического выражения:

а) \(\frac{a^4 — b^4}{a^2 — b^2}\) при \(a + b = 7\), \(ab = 2\);
б) \(\frac{ab^2 + a^2b}{a^2 + 2ab + b^2}\) при \(a + b = 8\), \(ab = 3\);
в) \(\frac{a^3 + b^3}{a^3b — ab^3 + ab^3}\) при \(a + b = 5\), \(ab = 2\);
г) \(\frac{a^3b — ab^3}{a^4 — b^4}\) при \(a — b = 8\), \(ab = -2\);
д) \(\frac{a^3b + ab^3}{ab^2 — a^2b}\) при \(a — b = 5\), \(ab = 4\);
е) \(\frac{a^3b + a^2b^2 + ab^3}{a^3 — b^3}\) при \(a — b = -2\), \(ab = 2\).

а)
\( \frac{a^{4} — b^{4}}{a^{2} — b^{2}} = \frac{(a^{2} — b^{2})(a^{2} + b^{2})}{a^{2} — b^{2}} = a^{2} + b^{2} \)

\( a^{2} + b^{2} = (a + b)^{2} — 2ab \)

\( (a + b)^{2} — 2ab = 7^{2} — 2 \cdot 2 = 49 — 4 = 45 \)

б)
\( \frac{ab^{2} + a^{2}b}{a^{2} + 2ab + b^{2}} = \frac{ab(a + b)}{(a + b)^{2}} = \frac{ab}{a + b} \)

\( \frac{ab}{a + b} = \frac{3}{8} \)

в)
\( \frac{a^{3} + b^{3}}{a^{3}b — a^{2}b^{2} + ab^{3}} = \frac{(a + b)(a^{2} — ab + b^{2})}{ab(a^{2} — ab + b^{2})} = \frac{a + b}{ab} \)

\( \frac{a + b}{ab} = \frac{5}{2} \)

г)
\( \frac{a^{3}b — ab^{3}}{a^{4} — b^{4}} = \frac{ab(a^{2} — b^{2})}{(a^{2} — b^{2})(a^{2} + b^{2})} = \frac{ab}{a^{2} + b^{2}} \)

\( a^{2} + b^{2} = (a — b)^{2} + 2ab \)

\( (a — b)^{2} + 2ab = 8^{2} + 2 \cdot (-2) = 64 — 4 = 60 \)

\( \frac{ab}{a^{2} + b^{2}} = \frac{-2}{60} = -\frac{1}{30} \)

д)
\( \frac{a^{3}b + ab^{3}}{ab^{2} — a^{2}b} = \frac{ab(a^{2} + b^{2})}{ab(b — a)} = \frac{a^{2} + b^{2}}{b — a} = -\frac{a^{2} + b^{2}}{a — b} \)

\( a^{2} + b^{2} = (a — b)^{2} + 2ab \)

\( (a — b)^{2} + 2ab = 5^{2} + 2 \cdot 4 = 25 + 8 = 33 \)

\( -\frac{a^{2} + b^{2}}{a — b} = \frac{33}{-5} \)

е)
\( \frac{a^{3}b + a^{2}b^{2} + ab^{3}}{a^{3} — b^{3}} = \frac{ab(a^{2} + ab + b^{2})}{(a — b)(a^{2} + ab + b^{2})} = \frac{ab}{a — b} \)

\( \frac{ab}{a — b} = \frac{2}{-2} = -1 \)

а)
\( \frac{a^4 — b^4}{a^2 — b^2} \)
при \( a + b = 7, ab = 2 \)

\( \frac{a^4 — b^4}{a^2 — b^2} = \frac{(a^2 — b^2)(a^2 + b^2)}{a^2 — b^2} = a^2 + b^2 \)
— сокращение дроби

\( a^2 + b^2 = (a + b)^2 — 2ab \)
— формула квадрата суммы

\( (a + b)^2 — 2ab = 7^2 — 2 \cdot 2 = 49 — 4 = 45 \)
— подстановка значений

б)
\( \frac{ab^2 + a^2b}{a^2 + 2ab + b^2} \)
при \( a + b = 8, ab = 3 \)

\( \frac{ab^2 + a^2b}{a^2 + 2ab + b^2} = \frac{ab(a + b)}{(a + b)^2} = \frac{ab}{a + b} \)
— упрощение выражения

\( \frac{ab}{a + b} = \frac{3}{8} \)
— подстановка значений

в)
\( \frac{a^3 + b^3}{a^3b — a^2b^2 + ab^3} \)
при \( a + b = 5, ab = 2 \)

\( \frac{a^3 + b^3}{a^3b — a^2b^2 + ab^3} = \frac{(a + b)(a^2 — ab + b^2)}{ab(a^2 — ab + b^2)} = \frac{a + b}{ab} \)
— упрощение выражения

\( \frac{a + b}{ab} = \frac{5}{2} \)
— подстановка значений

г)
\( \frac{a^3b — ab^3}{a^4 — b^4} \)
при \( a — b = 8, ab = -2 \)

\( \frac{a^3b — ab^3}{a^4 — b^4} = \frac{ab(a^2 — b^2)}{(a^2 — b^2)(a^2 + b^2)} = \frac{ab}{a^2 + b^2} \)
— упрощение выражения

\( a^2 + b^2 = (a — b)^2 + 2ab = 8^2 + 2 \cdot (-2) = 64 — 4 = 60 \)
— вычисление \(a^2 + b^2\)

\( \frac{ab}{a^2 + b^2} = \frac{-2}{60} = -\frac{1}{30} \)
— подстановка значений

д)
\( \frac{a^3b + ab^3}{ab^2 — a^2b} \)
при \( a — b = 5, ab = 4 \)

\( \frac{a^3b + ab^3}{ab^2 — a^2b} = \frac{ab(a^2 + b^2)}{ab(b — a)} = \frac{a^2 + b^2}{b — a} = -\frac{a^2 + b^2}{a — b} \)
— упрощение выражения

\( a^2 + b^2 = (a — b)^2 + 2ab = 5^2 + 2 \cdot 4 = 25 + 8 = 33 \)
— вычисление \(a^2 + b^2\)

\( -\frac{a^2 + b^2}{a — b} = \frac{33}{-5} \)
— подстановка значений

е)
\( \frac{a^3b + a^2b^2 + ab^3}{a^3 — b^3} \)
при \( a — b = -2, ab = 2 \)

\( \frac{a^3b + a^2b^2 + ab^3}{a^3 — b^3} = \frac{ab(a^2 + ab + b^2)}{(a — b)(a^2 + ab + b^2)} = \frac{ab}{a — b} \)
— упрощение выражения

\( \frac{ab}{a — b} = \frac{2}{-2} = -1 \)
— подстановка значений

Ответы:

а)
\( 45 \)

б)
\( \frac{3}{8} \)

в)
\( \frac{5}{2} \)

г)
\( -\frac{1}{30} \)

д)
\( \frac{33}{-5} \)

е)
\( -1 \)