ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 38.8 Мордкович — Подробные Ответы

Установите, является ли данное равенство тождеством, и если да, то укажите допустимые значения переменных.

а) \(\frac{a^4 — 4a^2}{a^2 — 2a} = a^2 + 2a\);
б) \(\frac{a^3 + b^3}{a + b} — ab = (a — b)^2\);
в) \(\frac{x^2 + 7x + 12}{x + 3} + x(x + 3) = (x + 2)^2\);
г) \(\frac{3b^5 — 24b^2}{6b^5 — 12b^4} = \frac{b^2 + 2b + 4}{2b^2}\);
д) \(\frac{n^3 — 8}{n — 2} + 2n = (n + 2)^2\);
е) \(\frac{n^2 + 11n + 18}{n + 2} + n(n + 5) = (n + 3)^2\).

а)
\( \frac{a^{4} — 4a^{2}}{a^{2} — 2a} = \frac{a^{2}(a^{2} — 4)}{a(a — 2)} \)

\( = \frac{a^{2}(a — 2)(a + 2)}{a(a — 2)} = a(a + 2) = a^{2} + 2a \)

\( a \neq 0, a \neq 2 \)

б)
\( \frac{a^{3} + b^{3}}{a + b} — ab = \frac{(a + b)(a^{2} — ab + b^{2})}{a + b} — ab \)

\( = a^{2} — ab + b^{2} — ab = a^{2} — 2ab + b^{2} = (a — b)^{2} \)

\( a \neq -b \)

в)
\( \frac{x^{2} + 7x + 12}{x + 3} + x = \frac{(x + 3)(x + 4)}{x + 3} + x \)

\( = x + 4 + x = 2x + 4 \)

\( (x + 2)^{2} = x^{2} + 4x + 4 \)

\( 2x + 4 \neq x^{2} + 4x + 4 \)

\( x \neq -3 \)

г)
\( \frac{3b^{5} — 24b^{2}}{6b^{5} — 12b^{4}} = \frac{3b^{2}(b^{3} — 8)}{6b^{4}(b — 2)} = \frac{3b^{2}(b — 2)(b^{2} + 2b + 4)}{6b^{4}(b — 2)} \)

\( = \frac{b^{2} + 2b + 4}{2b^{2}} \)

\( b \neq 0, b \neq 2 \)

д)
\( \frac{n^{3} — 8}{n — 2} + 2n = \frac{(n — 2)(n^{2} + 2n + 4)}{n — 2} + 2n \)

\( = n^{2} + 2n + 4 + 2n = n^{2} + 4n + 4 = (n + 2)^{2} \)

\( n \neq 2 \)

е)
\( \frac{n^{2} + 11n + 18}{n + 2} + n = \frac{(n + 2)(n + 9)}{n + 2} + n \)

\( = n + 9 + n = 2n + 9 \)

\( (n + 3)^{2} = n^{2} + 6n + 9 \)

\( 2n + 9 \neq n^{2} + 6n + 9 \)

\( n \neq -2 \)

а)
\( \frac{a^4 — 4a^2}{a^2 — 2a} = a^2 + 2a \)

\( \frac{a^2(a^2 — 4)}{a(a — 2)} = a^2 + 2a \)
— выносим общий множитель

\( \frac{a^2(a — 2)(a + 2)}{a(a — 2)} = a^2 + 2a \)
— разность квадратов

\( a(a + 2) = a^2 + 2a \)
— сокращаем

\( a^2 + 2a = a^2 + 2a \)
— раскрываем скобки

Тождество при \( a \neq 0 \)
и \( a \neq 2 \)

б)
\( \frac{a^3 + b^3}{a + b} — ab = (a — b)^2 \)

\( \frac{(a + b)(a^2 — ab + b^2)}{a + b} — ab = (a — b)^2 \)
— сумма кубов

\( a^2 — ab + b^2 — ab = (a — b)^2 \)
— сокращаем

\( a^2 — 2ab + b^2 = (a — b)^2 \)
— упрощаем

\( (a — b)^2 = (a — b)^2 \)
— формула квадрата разности

Тождество при \( a \neq -b \)

в)
\( \frac{x^2 + 7x + 12}{x + 3} + x(x + 3) = (x + 2)^2 \)

\( \frac{(x + 3)(x + 4)}{x + 3} + x(x + 3) = (x + 2)^2 \)
— раскладываем квадратный трехчлен

\( x + 4 + x^2 + 3x = (x + 2)^2 \)
— сокращаем

\( x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2 \)
— упрощаем

\( (x + 2)^2 = (x + 2)^2 \)
— формула квадрата суммы

Тождество при \( x \neq -3 \)

г)
\( \frac{3b^5 — 24b^2}{6b^5 — 12b^4} = \frac{b^2 + 2b + 4}{2b^2} \)

\( \frac{3b^2(b^3 — 8)}{6b^4(b — 2)} = \frac{b^2 + 2b + 4}{2b^2} \)
— выносим общий множитель

\( \frac{3b^2(b — 2)(b^2 + 2b + 4)}{6b^4(b — 2)} = \frac{b^2 + 2b + 4}{2b^2} \)
— разность кубов

\( \frac{b^2 + 2b + 4}{2b^2} = \frac{b^2 + 2b + 4}{2b^2} \)
— сокращаем

Тождество при \( b \neq 0 \)
и \( b \neq 2 \)

д)
\( \frac{n^3 — 8}{n — 2} + 2n = (n + 2)^2 \)

\( \frac{(n — 2)(n^2 + 2n + 4)}{n — 2} + 2n = (n + 2)^2 \)
— разность кубов

\( n^2 + 2n + 4 + 2n = (n + 2)^2 \)
— сокращаем

\( n^2 + 4n + 4 = (n + 2)^2 \)
— упрощаем

\( (n + 2)^2 = (n + 2)^2 \)
— формула квадрата суммы

Тождество при \( n \neq 2 \)

е)
\( \frac{n^2 + 11n + 18}{n + 2} + n(n + 5) = (n + 3)^2 \)

\( \frac{(n + 2)(n + 9)}{n + 2} + n(n + 5) = (n + 3)^2 \)
— раскладываем квадратный трехчлен

\( n + 9 + n^2 + 5n = (n + 3)^2 \)
— сокращаем

\( n^2 + 6n + 9 = (n + 3)^2 \)
— упрощаем

\( (n + 3)^2 = (n + 3)^2 \)
— формула квадрата суммы

Тождество при \( n \neq -2 \)

Ответы:

а) Тождество при \( a \neq 0 \) и \( a \neq 2 \)

б) Тождество при \( a \neq -b \)

в) Тождество при \( x \neq -3 \)

г) Тождество при \( b \neq 0 \) и \( b \neq 2 \)

д) Тождество при \( n \neq 2 \)

е) Тождество при \( n \neq -2 \)