Учебное пособие «Алгебра, 7 класс» авторства Мордковича, Мардахаева и Семенова является важным ресурсом для школьников, желающих расширить свои знания в алгебре. Книга выделяется содержательной насыщенностью и продуманной методической организацией, что способствует более легкому и интересному освоению математического материала.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 4.25 Мордкович — Подробные Ответы
Решим задачу, выделяя три этапа математического моделирования.
1. Составление математической модели
Обозначим расстояние между пунктами \(A\) и \(B\) через \(S\) (в метрах).
— Скорость Бобика: \(200\ \text{м/мин}\)
— Скорость Барбоса: \(160\ \text{м/мин}\)
Время, за которое Бобик пробегает расстояние \(S\):
\[
t_1 = \frac{S}{200}
\]
Время, за которое Барбос пробегает то же расстояние:
\[
t_2 = \frac{S}{160}
\]
По условию, Бобик пробегает путь на 3 мин 45 с быстрее, то есть на \(3{,}75\) минут быстрее (поскольку \(45\ \text{с} = \frac{45}{60} = 0{,}75\ \text{мин}\)):
\[
t_2 — t_1 = 3{,}75
\]
Подставим выражения для \(t_1\) и \(t_2\):
\[
\frac{S}{160} — \frac{S}{200} = 3{,}75
\]
Это уравнение — математическая модель задачи.
2. Работа с моделью (решение уравнения)
Найдём общий знаменатель для дробей. Наименьшее общее кратное чисел 160 и 200 — 800.
\[
\frac{S}{160} = \frac{5S}{800}, \quad \frac{S}{200} = \frac{4S}{800}
\]
Тогда:
\[
\frac{5S}{800} — \frac{4S}{800} = 3{,}75
\]
\[
\frac{S}{800} = 3{,}75
\]
Умножим обе части на 800:
\[
S = 3{,}75 \cdot 800
\]
\[
S = 3000\ \text{м}
\]
Теперь найдём, через какое время после старта Бобик догонит Барбоса.
Пусть \(t\) — время (в минутах) от начала движения до момента встречи.
За это время:
— Бобик пробежит: \(200t\) м;
— Барбос пробежит: \(160t\) м.
Но Барбос стартовал из пункта \(B\), а Бобик — из \(A\), и расстояние между \(A\) и \(B\) равно \(S = 3000\) м.
Поскольку они бегут в одном направлении, Бобик должен догнать Барбоса, преодолев начальное расстояние между ними.
В момент встречи расстояние, пройденное Бобиком, будет на 3000 м больше, чем у Барбоса:
\[
200t = 160t + 3000
\]
\[
200t — 160t = 3000
\]
\[
40t = 3000
\]
\[
t = \frac{3000}{40} = 75
\]
3. Интерпретация результата
Бобик догонит Барбоса через 75 минут после начала движения.
Ответ: \(75\) минут.
Решим задачу, выделяя три этапа математического моделирования.
Первый этап — составление математической модели
Из условия известно, что из пункта \(A\) и из пункта \(B\) одновременно в одном направлении выбежали два пса:
— Бобик — из \(A\) со скоростью \(200\ \text{м/мин}\);
— Барбос — из \(B\) со скоростью \(160\ \text{м/мин}\).
Пусть расстояние между пунктами \(A\) и \(B\) равно \(S\) метров.
Время, за которое Бобик пробегает расстояние \(S\):
\[
t_{\text{Бобик}} = \frac{S}{200}
\]
Время, за которое Барбос пробегает то же расстояние \(S\):
\[
t_{\text{Барбос}} = \frac{S}{160}
\]
По условию, Бобик тратит на этот путь на 3 минуты 45 секунд меньше. Переведём это время в минуты:
\[
3\ \text{мин}\ 45\ \text{с} = 3 + \frac{45}{60} = 3 + 0{,}75 = 3{,}75\ \text{мин}
\]
Следовательно, разность времён:
\[
t_{\text{Барбос}} — t_{\text{Бобик}} = 3{,}75
\]
Подставим выражения:
\[
\frac{S}{160} — \frac{S}{200} = 3{,}75
\]
Это уравнение связывает неизвестное расстояние \(S\) и известные величины. Оно и является математической моделью первого этапа.
Второй этап — работа с моделью (решение уравнения и нахождение времени встречи)
Решим уравнение для \(S\). Приведём дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное чисел 160 и 200 — 800:
\[
\frac{S}{160} = \frac{5S}{800}, \quad \frac{S}{200} = \frac{4S}{800}
\]
Тогда:
\[
\frac{5S}{800} — \frac{4S}{800} = 3{,}75
\]
\[
\frac{S}{800} = 3{,}75
\]
Умножим обе части на 800:
\[
S = 3{,}75 \cdot 800 = 3000
\]
Итак, расстояние между \(A\) и \(B\) равно \(3000\) метров.
Теперь найдём, через сколько минут после старта Бобик догонит Барбоса
Пусть \(t\) — искомое время (в минутах) от начала движения до момента встречи.
За время \(t\):
— Бобик пробежит путь: \(200t\) метров (от \(A\));
— Барбос пробежит путь: \(160t\) метров (от \(B\)).
Поскольку они бегут в одном направлении, а начальное расстояние между ними — \(3000\) м, то в момент встречи Бобик должен догнать Барбоса, то есть пройти на 3000 м больше:
\[
200t = 160t + 3000
\]
Перенесём \(160t\) в левую часть:
\[
200t — 160t = 3000
\]
\[
40t = 3000
\]
Разделим обе части на 40:
\[
t = \frac{3000}{40} = 75
\]
Третий этап — интерпретация результата
Мы нашли, что встреча произойдёт через \(t = 75\) минут после начала движения.
Проверим логичность результата:
— За 75 мин Бобик пробежит: \(200 \cdot 75 = 15\,000\) м;
— За 75 мин Барбос пробежит: \(160 \cdot 75 = 12\,000\) м;
— Разность: \(15\,000 — 12\,000 = 3\,000\) м — как раз расстояние между \(A\) и \(B\).
Всё согласуется.
Ответ: Бобик догонит Барбоса через 75 минут
