ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 5.12 Мордкович — Подробные Ответы

\[
\begin{array}{l}
\text{Решите задачу, выделяя три этапа математического моделирования.} \\
\text{В магазин привезли яблоки и бананы}.
\]

\[
Когда продали половину всех яблок и } \frac{2}{3} \text{ всех бананов,} \\
\text{то яблок осталось на 70 кг больше, чем бананов. Сколько килограммов фруктов} \\
\text{каждого вида привезли в магазин, если масса привезённых яблок превосходила} \\
\text{массу бананов в 3 раза?}
\end{array}
\]

1 этап. Составление модели.
Пусть \(x\) — масса бананов (в кг).
Тогда масса яблок — \(3x\) (по условию, в 3 раза больше).

Продали:
— \(\frac{1}{2} \cdot 3x = \frac{3x}{2}\) яблок → осталось \(3x — \frac{3x}{2} = \frac{3x}{2}\);
— \(\frac{2}{3} \cdot x = \frac{2x}{3}\) бананов → осталось \(x — \frac{2x}{3} = \frac{x}{3}\).

По условию, остаток яблок на 70 кг больше остатка бананов:

\[
\frac{3x}{2} = \frac{x}{3} + 70
\]

2 этап. Решение уравнения.

\[
\frac{3x}{2} — \frac{x}{3} = 70
\]

Общий знаменатель — 6:

\[
\frac{9x — 2x}{6} = 70
\]

\[
\frac{7x}{6} = 70
\]

\[
7x = 420
\]

\[
x = 60
\]

3 этап. Ответ.
Бананов привезли \(x = 60\) кг,
яблок — \(3x = 180\) кг.

Первый этап — составление математической модели

Обозначим неизвестные величины.
Пусть \(x\) — масса бананов, привезённых в магазин (в килограммах).
Согласно условию, масса яблок в 3 раза больше массы бананов, поэтому масса яблок равна \(3x\) кг.

Теперь определим, сколько фруктов осталось после продажи.

— Продали половину всех яблок, то есть \(\frac{1}{2} \cdot 3x = \frac{3x}{2}\) кг.
Значит, осталось:

\[
3x — \frac{3x}{2} = \frac{6x}{2} — \frac{3x}{2} = \frac{3x}{2} \text{ кг яблок}.
\]

— Продали \(\frac{2}{3}\) всех бананов, то есть \(\frac{2}{3} \cdot x = \frac{2x}{3}\) кг.
Значит, осталось:

\[
x — \frac{2x}{3} = \frac{3x}{3} — \frac{2x}{3} = \frac{x}{3} \text{ кг бананов}.
\]

По условию, яблок осталось на 70 кг больше, чем бананов. Это даёт уравнение:

\[
\frac{3x}{2} = \frac{x}{3} + 70
\]

Это и есть математическая модель задачи.

Второй этап — работа с моделью (решение уравнения)

Решим уравнение:

\[
\frac{3x}{2} — \frac{x}{3} = 70
\]

Найдём общий знаменатель для дробей — это 6. Приведём к общему знаменателю:

\[
\frac{9x}{6} — \frac{2x}{6} = 70
\]

\[
\frac{7x}{6} = 70
\]

Умножим обе части уравнения на 6:

\[
7x = 420
\]

Разделим обе части на 7:

\[
x = 60
\]

Третий этап — интерпретация результата

Мы обозначили через \(x\) массу бананов, значит:

— Бананов привезли \(x = 60\) кг;
— Яблок привезли \(3x = 3 \cdot 60 = 180\) кг.

Проверим условия задачи:

— Продали половину яблок: \(180 : 2 = 90\) кг → осталось \(90\) кг;
— Продали \(\frac{2}{3}\) бананов: \(\frac{2}{3} \cdot 60 = 40\) кг → осталось \(20\) кг;
— Разность остатков: \(90 — 20 = 70\) кг — совпадает с условием;
— Масса яблок в 3 раза больше массы бананов: \(180 : 60 = 3\) — верно.

Все условия выполнены.

Ответ:
в магазин привезли 180 кг яблок и 60 кг бананов.