ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 5.14 Мордкович — Подробные Ответы

1 этап. Составление модели.
Пусть \(x\) — собственная скорость катера (км/ч).
Скорость по течению: \(x + 3\), против течения: \(x — 3\).

Длина маршрута:
— по озеру: \(2x\),
— по течению: \(3(x + 3)\).

Если весь путь пройти против течения за 7,4 ч, то:

\[
2x + 3(x + 3) = 7{,}4(x — 3)
\]

2 этап. Работа с моделью.

\[
2x + 3x + 9 = 7{,}4x — 22{,}2
\]

\[
5x + 9 = 7{,}4x — 22{,}2
\]

\[
9 + 22{,}2 = 7{,}4x — 5x
\]

\[
31{,}2 = 2{,}4x
\]

\[
x = \frac{31{,}2}{2{,}4} = 13
\]

3 этап. Ответ.
По озеру: \(2x = 26\) км,
по течению: \(3(x + 3) = 3 \cdot 16 = 48\) км.

Решим задачу, выделяя три этапа математического моделирования.

Первый этап — составление математической модели

Обозначим собственную скорость катера (в стоячей воде) через \(x\) км/ч.
Скорость течения реки известна: \(3\) км/ч.

Тогда:
— Скорость катера по течению реки: \(x + 3\) км/ч;
— Скорость катера против течения: \(x — 3\) км/ч;
— По озеру (где нет течения) катер движется со скоростью \(x\) км/ч.

Из условия:
— Катер идёт 2 часа по озеру, значит, путь по озеру:

\[
S_1 = 2 \cdot x = 2x \quad \text{(км)}
\]

— Затем 3 часа по течению, значит, путь по реке:

\[
S_2 = 3 \cdot (x + 3) = 3(x + 3) \quad \text{(км)}
\]

Общий маршрут:

\[
S = S_1 + S_2 = 2x + 3(x + 3)
\]

Теперь рассмотрим гипотетическую ситуацию: весь этот же маршрут пройден против течения за \(7{,}4\) часа. Тогда тот же путь можно выразить как:

\[
S = 7{,}4 \cdot (x — 3)
\]

Приравниваем два выражения для одного и того же расстояния:

\[
2x + 3(x + 3) = 7{,}4(x — 3)
\]

Это уравнение — математическая модель задачи.

Второй этап — работа с моделью (решение уравнения)

Раскроем скобки в левой части:

\[
2x + 3x + 9 = 7{,}4(x — 3)
\]

\[
5x + 9 = 7{,}4x — 22{,}2
\]

Перенесём все члены с \(x\) в правую часть, а числа — в левую:

\[
9 + 22{,}2 = 7{,}4x — 5x
\]

\[
31{,}2 = 2{,}4x
\]

Разделим обе части на \(2{,}4\):

\[
x = \frac{31{,}2}{2{,}4}
\]

Упростим: умножим числитель и знаменатель на 10, чтобы избавиться от запятых:

\[
x = \frac{312}{24} = 13
\]

Собственная скорость катера: \(x = 13\) км/ч.

Третий этап — интерпретация результата

Найдём длину каждого участка маршрута.

Путь по озеру:

\[
2x = 2 \cdot 13 = 26 \quad \text{(км)}
\]

Путь по течению реки:

\[
3(x + 3) = 3 \cdot (13 + 3) = 3 \cdot 16 = 48 \quad \text{(км)}
\]

Проверка:
Общий путь: \(26 + 48 = 74\) км.
Против течения скорость: \(13 — 3 = 10\) км/ч.
Время: \(74 : 10 = 7{,}4\) ч — совпадает с условием.

Ответ:
длина маршрута по озеру — \(26\) км,
по течению реки — \(48\) км.