ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 5.21 Мордкович — Подробные Ответы

При каких значениях параметра p уравнение имеет бесконечное множество корней
\[\text{а) } p(p — 3)x + p = 0; \\
\text{б) } (p — 3)(p + 1)x = p^{2} — 1; \\
\text{в) } 2x + 3(x — 4) = p^{2} — 1; \\
\text{г) } p(p + 2)x — p = 2; \\
\text{д) } (p + 2)(p — 2)x + p + 2 = p^{2}; \\
\text{е) } x + p + 2 — 3(2x — 2) = p^{2}?
\]

Уравнение имеет бесконечное множество корней, если оно приводится к виду \(0 \cdot x = 0\).

а) \(p(p — 3)x + p = 0\)
→ \(p(p — 3) = 0\) и \(p = 0\)
Из \(p(p — 3) = 0\) ⇒ \(p = 0\) или \(p = 3\).
Проверяем:
— при \(p = 0\): \(0 \cdot x + 0 = 0\) → верно;
— при \(p = 3\): \(0 \cdot x + 3 = 0\) → \(3 = 0\) — неверно.
Ответ: \(p = 0\).

б) \((p — 3)(p + 1)x = p^{2} — 1\)
Правая часть: \(p^{2} — 1 = (p — 1)(p + 1)\).
Уравнение: \((p — 3)(p + 1)x = (p — 1)(p + 1)\).
Бесконечно много решений, если обе части — ноль:
\((p — 3)(p + 1) = 0\) и \((p — 1)(p + 1) = 0\).
Общее решение: \(p + 1 = 0\) → \(p = -1\).
Ответ: \(p = -1\).

в) \(2x + 3(x — 4) = p^{2} — 1\)
Упростим: \(2x + 3x — 12 = p^{2} — 1\) → \(5x = p^{2} + 11\).
Коэффициент при \(x\) — 5 ≠ 0, значит, всегда один корень.
Ответ: ни при каких \(p\).

г) \(p(p + 2)x — p = 2\) → \(p(p + 2)x = p + 2\)
Бесконечно много решений, если \(p(p + 2) = 0\) и \(p + 2 = 0\).
Из \(p + 2 = 0\) → \(p = -2\).
Проверка: при \(p = -2\): \(0 \cdot x = 0\) — верно.
Ответ: \(p = -2\).

д) \((p + 2)(p — 2)x + p + 2 = p^{2}\)
Переносим: \((p^{2} — 4)x = p^{2} — p — 2\)
Бесконечно много решений, если обе части — ноль:
\(p^{2} — 4 = 0\) и \(p^{2} — p — 2 = 0\).
Решаем:
\(p^{2} — 4 = 0\) → \(p = \pm 2\);
\(p^{2} — p — 2 = (p — 2)(p + 1) = 0\) → \(p = 2\) или \(p = -1\).
Общее: \(p = 2\).
Проверка: при \(p = 2\): \(0 \cdot x + 4 = 4\) → \(0 = 0\).
Ответ: \(p = 2\).

е) \(x + p + 2 — 3(2x — 2) = p^{2}\)
Упрощаем: \(x + p + 2 — 6x + 6 = p^{2}\) → \(-5x + p + 8 = p^{2}\) → \(-5x = p^{2} — p — 8\)
Коэффициент при \(x\) — \(-5 \ne 0\), всегда один корень.
Ответ:ни при каких \(p\).

\[
0 \cdot x = 0
\]

То есть коэффициент при \(x\) равен нулю и свободный член также равен нулю.

а) \(p(p — 3)x + p = 0\)

Приведём к виду \(A x = B\):

\[
p(p — 3)x = -p
\]

Для бесконечного числа решений нужно:

\[
p(p — 3) = 0 \quad \text{и} \quad -p = 0
\]

Из второго условия: \(p = 0\).
Проверим первое: при \(p = 0\) → \(0 \cdot (-3) = 0\) — верно.
При \(p = 3\): \(p(p — 3) = 0\), но \(-p = -3 \ne 0\) → не подходит.

Ответ: \(p = 0\).

б) \((p — 3)(p + 1)x = p^{2} — 1\)

Заметим, что \(p^{2} — 1 = (p — 1)(p + 1)\). Уравнение:

\[
(p — 3)(p + 1)x = (p — 1)(p + 1)
\]

Для бесконечного числа решений обе части должны быть нулевыми:

\[
(p — 3)(p + 1) = 0 \quad \text{и} \quad (p — 1)(p + 1) = 0
\]

Первое: \(p = 3\) или \(p = -1\)
Второе: \(p = 1\) или \(p = -1\)

Общее решение: \(p = -1\)

Проверка: при \(p = -1\) → левая часть: \( (-4)(0)x = 0\), правая: \(1 — 1 = 0\) → \(0 = 0\)

Ответ: \(p = -1\).

в) \(2x + 3(x — 4) = p^{2} — 1\)

Раскроем скобки:

\[
2x + 3x — 12 = p^{2} — 1
\]

\[
5x = p^{2} + 11
\]

Коэффициент при \(x\) равен 5 — он никогда не равен нулю. Значит, уравнение всегда имеет ровно один корень, независимо от \(p\).

Ответ: ни при каких \(p\).

г) \(p(p + 2)x — p = 2\)

Переносим \(-p\) вправо:

\[
p(p + 2)x = p + 2
\]

Для бесконечного числа решений:

\[
p(p + 2) = 0 \quad \text{и} \quad p + 2 = 0
\]

Из второго: \(p = -2\)
Проверим первое: \((-2)(0) = 0\) — верно.

При \(p = 0\): левая часть \(0\), правая \(0 + 2 = 2\) → \(0 = 2\) — неверно.

Ответ: \(p = -2\).

д) \((p + 2)(p — 2)x + p + 2 = p^{2}\)

Переносим всё в левую часть:

\[
(p^{2} — 4)x + p + 2 — p^{2} = 0
\]

\[
(p^{2} — 4)x = p^{2} — p — 2
\]

Теперь требуем:

\[
p^{2} — 4 = 0 \quad \text{и} \quad p^{2} — p — 2 = 0
\]

Решаем первое: \(p^{2} = 4\) → \(p = 2\) или \(p = -2\)
Решаем второе: \(p^{2} — p — 2 = (p — 2)(p + 1) = 0\) → \(p = 2\) или \(p = -1\)

Общее значение: \(p = 2\)

Проверка: при \(p = 2\) исходное уравнение:
\((4 — 4)x + 2 + 2 = 4\) → \(0 \cdot x + 4 = 4\) → \(0 = 0\)

Ответ: \(p = 2\).

е) \(x + p + 2 — 3(2x — 2) = p^{2}\)

Раскроем скобки:

\[
x + p + 2 — 6x + 6 = p^{2}
\]

\[
-5x + p + 8 = p^{2}
\]

Переносим:

\[
-5x = p^{2} — p — 8
\]

Коэффициент при \(x\) равен \(-5 \ne 0\) при любом \(p\). Следовательно, уравнение всегда имеет один корень.

Ответ: ни при каких \(p\).