ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 5.23 Мордкович — Подробные Ответы

\[
\begin{array}{l}
\text{Решите уравнение с параметром } p\text{:} \\
\text{а) } (p — 6)x = 2; \\
\text{б) } p(p + 2)x = -1; \\
\text{в) } (p + 3{,}7)x = 8{,}5; \\
\text{г) } p(p + 9)x = p^{2}.
\end{array}
\]

а) \((p — 6)x = 2\)
Если \(p \ne 6\), то \(x = \frac{2}{p — 6}\).
Если \(p = 6\), то \(0 \cdot x = 2\) — решений нет.

б) \(p(p + 2)x = -1\)
Если \(p \ne 0\) и \(p \ne -2\), то \(x = \frac{-1}{p(p + 2)}\).
Если \(p = 0\) или \(p = -2\), то \(0 \cdot x = -1\) — решений нет.

в) \((p + 3{,}7)x = 8{,}5\)
Если \(p \ne -3{,}7\), то \(x = \frac{8{,}5}{p + 3{,}7}\).
Если \(p = -3{,}7\), то \(0 \cdot x = 8{,}5\) — решений нет.

г) \(p(p + 9)x = p^{2}\)
Если \(p \ne 0\) и \(p \ne -9\), то \(x = \frac{p^{2}}{p(p + 9)} = \frac{p}{p + 9}\).
Если \(p = 0\), то \(0 \cdot x = 0\) — бесконечно много решений.
Если \(p = -9\), то \(0 \cdot x = 81\) — решений нет.

Рассмотрим каждое уравнение с параметром \(p\). В линейных уравнениях вида \(A(p) \cdot x = B(p)\) возможны три случая:

1. Если \(A(p) \ne 0\) — уравнение имеет единственный корень: \(x = \frac{B(p)}{A(p)}\).
2. Если \(A(p) = 0\) и \(B(p) = 0\) — уравнение имеет бесконечно много решений.
3. Если \(A(p) = 0\) и \(B(p) \ne 0\) — уравнение не имеет решений.

Разберём каждый пункт.

а) \((p — 6)x = 2\)

Здесь \(A(p) = p — 6\), \(B(p) = 2\).

— Если \(p — 6 \ne 0\), то есть \(p \ne 6\), то:

\[
x = \frac{2}{p — 6}
\]

— Если \(p = 6\), то уравнение принимает вид:

\[
0 \cdot x = 2 \quad \Rightarrow \quad 0 = 2
\]
— противоречие, решений нет.

Ответ: при \(p \ne 6\) — \(x = \frac{2}{p — 6}\); при \(p = 6\) — решений нет.

б) \(p(p + 2)x = -1\)

Здесь \(A(p) = p(p + 2)\), \(B(p) = -1\).

— Если \(p(p + 2) \ne 0\), то есть \(p \ne 0\) и \(p \ne -2\), то:
\[
x = \frac{-1}{p(p + 2)}
\]

— Если \(p = 0\) или \(p = -2\), то \(A(p) = 0\), а \(B(p) = -1 \ne 0\), значит:

\[
0 \cdot x = -1 \quad \Rightarrow \quad \text{решений нет}
\]

Ответ:при \(p \ne 0\) и \(p \ne -2\) — \(x = \frac{-1}{p(p + 2)}\); при \(p = 0\) или \(p = -2\) — решений нет.

в) \((p + 3{,}7)x = 8{,}5\)

Здесь \(A(p) = p + 3{,}7\), \(B(p) = 8{,}5\).

— Если \(p + 3{,}7 \ne 0\), то есть \(p \ne -3{,}7\), то:

\[
x = \frac{8{,}5}{p + 3{,}7}
\]

— Если \(p = -3{,}7\), то:

\[
0 \cdot x = 8{,}5 \quad \Rightarrow \quad \text{решений нет}
\]

Ответ: при \(p \ne -3{,}7\) — \(x = \frac{8{,}5}{p + 3{,}7}\); при \(p = -3{,}7\) — решений нет.

г) \(p(p + 9)x = p^{2}\)

Здесь \(A(p) = p(p + 9)\), \(B(p) = p^{2}\).

Рассмотрим возможные значения \(p\):

1. Если \(p \ne 0\) и \(p \ne -9\), то \(A(p) \ne 0\), и можно сократить:

\[
x = \frac{p^{2}}{p(p + 9)} = \frac{p}{p + 9}
\]

2. Если \(p = 0\), подставим в исходное уравнение:

\[
0 \cdot (0 + 9) \cdot x = 0^{2} \quad \Rightarrow \quad 0 = 0
\]
— верное равенство при любом \(x\), то есть бесконечно много решений.

3. Если \(p = -9\), то:

\[
(-9)(0) \cdot x = (-9)^{2} \quad \Rightarrow \quad 0 = 81
\]

— неверно, решений нет.

Ответ:
— при \(p \ne 0\) и \(p \ne -9\): \(x = \frac{p}{p + 9}\);
— при \(p = 0\): бесконечно много решений;
— при \(p = -9\): решений нет.