ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 5.24 Мордкович — Подробные Ответы

\[
\text{При каких значениях параметра } p \text{ уравнение } (p — 4)p\,x = p^{2} + 4p:
\]

а) не имеет корней;
б) имеет один корень
в) имеет бесконечное множество корней?

Рассмотрим уравнение:

\[
(p — 4)p\,x = p^2 + 4p
\]
Правую часть разложим: \(p^2 + 4p = p(p + 4)\). Получаем:

\[
p(p — 4)x = p(p + 4)
\]

а) Нет корней, если коэффициент при \(x\) равен 0, а правая часть ≠ 0:
\(p(p — 4) = 0\) → \(p = 0\) или \(p = 4\).
При \(p = 4\): правая часть \(= 4 \cdot 8 = 32 \ne 0\) → нет корней.
При \(p = 0\): правая часть \(= 0\) → не этот случай.
Ответ: \(p = 4\).

б) Один корень, если коэффициент ≠ 0:
\(p(p — 4) \ne 0\) → \(p \ne 0\) и \(p \ne 4\).
Ответ: \(p \ne 0\), \(p \ne 4\).

в) Бесконечно много корней, если обе части = 0:
\(p(p — 4) = 0\) и \(p(p + 4) = 0\) → общее решение: \(p = 0\).
Ответ: \(p = 0\).

Рассмотрим уравнение:

\[
(p — 4)p\,x = p^2 + 4p
\]

Запишем его в виде:

\[
p(p — 4)x = p^2 + 4p
\]

Заметим, что правую часть можно разложить:

\[
p^2 + 4p = p(p + 4)
\]

Таким образом, уравнение принимает вид:

\[
p(p — 4)x = p(p + 4)
\]

Теперь исследуем в зависимости от параметра \(p\).

а) Уравнение не имеет корней, если коэффициент при \(x\) равен нулю, а правая часть — не ноль:

\[
p(p — 4) = 0 \quad \text{и} \quad p(p + 4) \ne 0
\]

Решим первое уравнение:

\[
p = 0 \quad \text{или} \quad p = 4
\]

Проверим правую часть для этих значений:

— При \(p = 0\): \(p(p + 4) = 0 \cdot 4 = 0\) → уравнение имеет бесконечно много решений (см. пункт в).
— При \(p = 4\): \(p(p + 4) = 4 \cdot 8 = 32 \ne 0\) → коэффициент при \(x\) равен нулю, а правая часть — не ноль.

Следовательно, уравнение не имеет корней при

\[
p = 4
\]

б) Уравнение имеет один корень, если коэффициент при \(x\) не равен нулю:

\[
p(p — 4) \ne 0 \quad \Rightarrow \quad p \ne 0 \text{ и } p \ne 4
\]

В этом случае можно разделить обе части на \(p(p — 4)\) и получить единственное решение:

\[
x = \frac{p(p + 4)}{p(p — 4)} = \frac{p + 4}{p — 4}
\]

Итак, один корень при всех

\[
p \in \mathbb{R}, \quad p \ne 0, \; p \ne 4
\]

в) Уравнение имеет бесконечное множество корней, если и левая, и правая части тождественно равны нулю:

\[
p(p — 4) = 0 \quad \text{и} \quad p(p + 4) = 0
\]

Общее решение этих двух уравнений — значение \(p\), при котором оба выражения равны нулю.
Первое: \(p = 0\) или \(p = 4\)
Второе: \(p = 0\) или \(p = -4\)

Единственное общее значение:

\[
p = 0
\]

При \(p = 0\) уравнение принимает вид:

\[
0 \cdot x = 0,
\]

что верно при любом \(x\). Следовательно, бесконечно много решений при

\[
p = 0
\]

Ответ:
а) не имеет корней при \(p = 4\);
б) имеет один корень при \(p \ne 0\) и \(p \ne 4\);
в) имеет бесконечное множество корней при \(p = 0\).