ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 6.10 Мордкович — Подробные Ответы

Рассмотрим уравнения, связанные с модулем числа, и их геометрическую интерпретацию на координатной прямой — как расстояние от точки до начала координат.

а) Уравнение: \(|x| = 3\)

Модуль числа \(x\) равен 3 — это означает, что расстояние от точки \(x\) до нуля равно 3.
На координатной прямой таких точек две: одна справа от нуля — \(x = 3\), другая слева — \(x = -3\).

Обозначим:

— Точка \(A(3)\) — правее нуля;
— Точка \(B(-3)\) — левее нуля.

На рисунке изображены обе точки:
\[
B(-3) \quad \text{—} \quad 0 \quad \text{—} \quad A(3)
\]

Таким образом, решения уравнения: \(x = 3\) или \(x = -3\).

б) Уравнение: \(|x| = 0\)

Модуль числа равен нулю только тогда, когда само число равно нулю.
Значит, единственная точка — начало координат: \(x = 0\).

Обозначим:

— Точка \(C(0)\) — совпадает с нулём.

На рисунке:
\[
C(0) \quad \text{—} \quad 1
\]

Решение: \(x = 0\).

в) Уравнение: \(|x| = b\), где \(b > 0\)

Поскольку \(b > 0\), то уравнение имеет два решения:
— \(x = b\) — точка \(N(b)\), правее нуля;
— \(x = -b\) — точка \(M(-b)\), левее нуля.

На координатной прямой:
\[
M(-b) \quad \text{—} \quad 0 \quad \text{—} \quad N(b)
\]

Расстояние от каждой из этих точек до нуля равно \(b\).
Следовательно, решения: \(x = b\) и \(x = -b\).

г) Уравнение: \(|x| = -5\)

Модуль числа — это абсолютное значение, которое по определению всегда неотрицательно:
\[
|x| \geq 0 \quad \text{для любого } x \in \mathbb{R}.
\]

Но в данном случае модуль приравнивается к отрицательному числу \(-5 < 0\), что невозможно.

Следовательно, нет ни одной точки на координатной прямой, для которой расстояние до нуля равно \(-5\).

Ответ: таких точек нет.

Вывод:
Геометрическая интерпретация модуля — расстояние от точки до нуля — позволяет наглядно решать уравнения с модулем.
— Если \(|x| = a\), где \(a > 0\), — две точки: \(x = a\) и \(x = -a\);
— Если \(|x| = 0\) — одна точка: \(x = 0\);
— Если \(|x| = a\), где \(a < 0\) — нет решений.