ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 6.7 Мордкович — Подробные Ответы

Обоснуйте с помощью координатной прямой следующее утверждение:
Если \(a > b\), то \(-a < -b\).
Рассмотрим все случаи по отдельности.

а) Если \(a\) и \(b\) — положительные числа, и \(a > b\), то \(-a < -b\)

Пусть \(a = 5\), \(b = 3\). Тогда \(a > b\) — верно.
Отметим точки на координатной прямой:

— \(a = 5\) — правее нуля;
— \(b = 3\) — левее \(a\);
— \(-a = -5\) — левее нуля;
— \(-b = -3\) — правее \(-5\).

На координатной прямой:
\[
-5 \quad \text{—} \quad -3 \quad \text{—} \quad 0 \quad \text{—} \quad 3 \quad \text{—} \quad 5
\]

Видно, что \(-5 < -3\), то есть \(-a < -b\).

Общее объяснение:
Если \(a > b > 0\), то при умножении на \(-1\) обе части неравенства меняют знак, и направление неравенства меняется на противоположное:

\[
a > b \Rightarrow -a < -b.
\]

На координатной прямой это означает, что если \(a\) правее \(b\), то \(-a\) левее \(-b\).

б) Если \(a\) и \(b\) — отрицательные числа, и \(a > b\), то \(-a < -b\)

Пусть \(a = -2\), \(b = -5\). Тогда \(a > b\), так как \(-2 > -5\).
Отметим точки:

— \(a = -2\) — правее нуля (но всё ещё слева от нуля);
— \(b = -5\) — левее \(a\);
— \(-a = 2\) — правее нуля;
— \(-b = 5\) — правее \(2\).

На координатной прямой:
\[
-5 \quad \text{—} \quad -2 \quad \text{—} \quad 0 \quad \text{—} \quad 2 \quad \text{—} \quad 5
\]

Видно, что \(2 < 5\), то есть \(-a < -b\).

Общее объяснение:
Если \(a > b\) и оба отрицательны, то \(a\) ближе к нулю, чем \(b\). При взятии противоположных чисел:
\(-a\) — положительное число, меньшее по модулю, чем \(-b\). Значит, \(-a\) лежит левее \(-b\) на координатной прямой, то есть \(-a < -b\).

в) Если \(a\) — положительное число, \(b\) — отрицательное число, и \(a > b\), то \(-a < -b\)

Пусть \(a = 4\), \(b = -3\). Очевидно, \(4 > -3\).
Отметим точки:

— \(a = 4\) — правее нуля;
— \(b = -3\) — левее нуля;
— \(-a = -4\) — левее нуля;
— \(-b = 3\) — правее нуля.

На координатной прямой:

\[
-4 \quad \text{—} \quad -3 \quad \text{—} \quad 0 \quad \text{—} \quad 3 \quad \text{—} \quad 4
\]

Видно, что \(-4 < 3\), то есть \(-a < -b\).

Общее объяснение:
Положительное число всегда больше отрицательного. При взятии противоположных чисел:
\(-a\) — отрицательное, \(-b\) — положительное. Любое отрицательное число меньше любого положительного, поэтому \(-a < -b\) всегда верно в этом случае.

г) Если \(a = 0\), \(b\) — отрицательное число, и \(a > b\), то \(-a < -b\)

Пусть \(a = 0\), \(b = -2\). Тогда \(0 > -2\) — верно.
Отметим точки:

— \(a = 0\) — начало координат;
— \(b = -2\) — левее нуля;
— \(-a = 0\) — та же точка;
— \(-b = 2\) — правее нуля.

На координатной прямой:

\[
-2 \quad \text{—} \quad 0 \quad \text{—} \quad 2
\]

Видно, что \(0 < 2\), то есть \(-a < -b\).

Общее объяснение:
Если \(a = 0\), то \(-a = 0\). Если \(b < 0\), то \(-b > 0\). Следовательно, \(0 < -b\), то есть \(-a < -b\).

Вывод:
Во всех рассмотренных случаях из условия \(a > b\) следует, что \(-a < -b\). Это свойство справедливо для любых действительных чисел и наглядно демонстрируется на координатной прямой: при изменении знака чисел их порядок на прямой меняется на противоположный.