ГДЗ по Алгебре 7 Класс Глава 2 Дополнительная задача 15 Мордкович — Подробные Ответы

Три прямые l_1, l_2 и l_3 являются графиками линейных функций у = 3 — (2 — х), у = 5 -(4 — (3 — х)) и y = 7 — (6 — (5 — (4 — x))) соответственно. Какие из утверждений «а» — «е» верны: а) l_1 и l_2 не имеют общих точек; б) l_2 и l_3 не имеют общих точек; в) l_1 и l_3 не имеют общих точек; г) l_1 и l_2 пересекаются в точке из первой координатной четверти; д) l_2 и l_3 пересекаются в точке из второй координатной четверти; е) l_1 пересекает ось ординат выше, чем её пересекает l_3?

Прямая \( l_1 \):
\[
y = 3 — (2 — x) = 3 — 2 + x = x + 1.
\]

Прямая \( l_2 \):
\[
y = 5 — (4 — (3 — x)) = 5 — 4 + 3 — x = -x + 4.
\]

Прямая \( l_3 \):
\[
y = 7 — \left(6 — (5 — (4 — x))\right) = 7 — 6 + 5 — 4 + x = x + 2.
\]

а) Прямые \( l_1 \) и \( l_2 \) не имеют общих точек ⟹ неверно, потому что \( k_1 \neq k_2 \) и прямые пересекаются.

б) Прямые \( l_2 \) и \( l_3 \) не имеют общих точек ⟹ неверно, потому что \( k_2 \neq k_3 \) и прямые пересекаются.

в) Прямые \( l_1 \) и \( l_3 \) не имеют общих точек ⟹ верно, потому что \( k_1 = k_3 \) и прямые параллельны.

г) Прямые \( l_1 \) и \( l_2 \) пересекаются в точке из первой координатной четверти ⟹ верно, потому что:
\[
x + 1 = -x + 4
\]

\[
x + x = 4 — 1
\]

\[
2x = 3
\]

\[
x = 1{,}5.
\]

\[
y = x + 1 = 1{,}5 + 1 = 2{,}5.
\]
(1,5; 2,5) – точка пересечения прямых \( l_1 \) и \( l_2 \) → первая координатная четверть.

д) Прямые \( l_2 \) и \( l_3 \) пересекаются в точке из второй координатной четверти ⟹ неверно, потому что:
\[
-x + 4 = x + 2
\]

\[
-x — x = 2 — 4\]

\[
-2x = -2
\]

\[
x = 1.
\]

\[
y = -x + 4 = -1 + 4 = 3.
\]
(1; 3) – точка пересечения прямых \( l_2 \) и \( l_3 \) → первая координатная четверть.

е) Прямая \( l_1 \) пересекает ось ординат выше, чем её пересекает прямая \( l_3 \) ⟹ неверно, потому что:
Прямая \( l_1 \) пересекает ось \( Oy \) в точке:

\[
y = x + 1 = 0 + 1 = 1 \implies (0; 1);
\]
Прямая \( l_3 \) пересекает ось \( Oy \) в точке:

\[
y = x + 2 = 0 + 2 = 2 \implies (0; 2).
\]
То есть, прямая \( l_1 \) пересекает ось ординат ниже, чем её пересекает прямая \( l_3 \).

Ответ: в) и г).

Даны три линейные функции, заданные следующими выражениями после упрощения:

Прямая \( l_1 \):

\[
y = 3 — (2 — x) = 3 — 2 + x = x + 1
\]
Угловой коэффициент \( k_1 = 1 \), свободный член \( m_1 = 1 \).

Прямая \( l_2 \):

\[
y = 5 — (4 — (3 — x)) = 5 — 4 + 3 — x = -x + 4
\]
Угловой коэффициент \( k_2 = -1 \), свободный член \( m_2 = 4 \).

Прямая \( l_3 \):

\[
y = 7 — \left( 6 — (5 — (4 — x)) \right) = 7 — 6 + 5 — 4 + x = x + 2
\]
Угловой коэффициент \( k_3 = 1 \), свободный член \( m_3 = 2 \).

Анализ утверждений

а) «Прямые \( l_1 \) и \( l_2 \) не имеют общих точек»
Прямые имеют различные угловые коэффициенты (\( k_1 = 1 \), \( k_2 = -1 \)), значит, они не параллельны и обязательно пересекаются в некоторой точке.
Следовательно, данное утверждение неверно.

б) «Прямые \( l_2 \) и \( l_3 \) не имеют общих точек»
Угловые коэффициенты: \( k_2 = -1 \), \( k_3 = 1 \). Поскольку \( k_2 \neq k_3 \), прямые также пересекаются.
Следовательно, утверждение неверно.

в) «Прямые \( l_1 \) и \( l_3 \) не имеют общих точек»
Угловые коэффициенты: \( k_1 = 1 \), \( k_3 = 1 \). Так как коэффициенты равны, прямые параллельны. Однако свободные члены различны (\( m_1 = 1 \), \( m_3 = 2 \)), поэтому прямые не совпадают и не пересекаются — они действительно не имеют общих точек.
Следовательно, утверждение верно.

г) «Прямые \( l_1 \) и \( l_2 \) пересекаются в точке из первой координатной четверти»
Найдём точку пересечения \( l_1 \) и \( l_2 \), приравняв их уравнения:
\[
x + 1 = -x + 4
\]

\[
x + x = 4 — 1
\]

\[
2x = 3
\]

\[
x = 1{,}5
\]
Подставляем \( x = 1{,}5 \) в уравнение \( l_1 \):

\[
y = 1{,}5 + 1 = 2{,}5
\]
Точка пересечения: \( (1{,}5; 2{,}5) \).
В первой координатной четверти \( x > 0 \) и \( y > 0 \). Здесь \( 1{,}5 > 0 \), \( 2{,}5 > 0 \), значит точка лежит в первой четверти.
Следовательно, утверждение верно.

д) «Прямые \( l_2 \) и \( l_3 \) пересекаются в точке из второй координатной четверти»
Найдём точку пересечения \( l_2 \) и \( l_3 \):
\[
-x + 4 = x + 2
\]

\[
-x — x = 2 — 4
\]

\[
-2x = -2
\]

\[
x = 1
\]

Подставляем в уравнение \( l_2 \):
\[
y = -1 + 4 = 3
\]

Точка пересечения: \( (1; 3) \).
Во второй координатной четверти \( x < 0 \), \( y > 0 \). Здесь \( x = 1 > 0 \), поэтому точка принадлежит первой четверти.
Следовательно, утверждение неверно.

е) «Прямая \( l_1 \) пересекает ось ординат выше, чем её пересекает прямая \( l_3 \)»
Точка пересечения прямой с осью ординат (\( Oy \)) находится при \( x = 0 \).
Для \( l_1 \): \( y = 0 + 1 = 1 \), точка \( (0; 1) \).
Для \( l_3 \): \( y = 0 + 2 = 2 \), точка \( (0; 2) \).
Поскольку \( 1 < 2 \), прямая \( l_1 \) пересекает ось ординат ниже, чем прямая \( l_3 \).
Следовательно, утверждение неверно.

Ответ: верными являются утверждения в и г.