ГДЗ по Алгебре 7 Класс Итоговое Повторение Номер 102 Мордкович — Подробные Ответы

При делении двузначного числа на сумму его цифр в частном получается 7, а в остатке 3. Найдите это число, если известно, что при перестановке его цифр получается число, меньшее искомого на 36.

10x + y = 7(x + y) + 3
10x + y = 10y + x + 36

10x + y = 7x + 7y + 3
9x — 9y = 36

3x — 3y = 3
x — y = 12

x = y + 12

Подставим x во второе уравнение:
10(y + 12) + y = 10y + (y + 12) + 36
10y + 120 + y = 10y + y + 12 + 36
11y + 120 = 11y + 48
120 = 48

Это противоречие, что означает, что в условии задачи есть ошибка или такое число не существует.

Перепроверим первое уравнение:
10x + y = 7(x + y) + 3
10x + y = 7x + 7y + 3
3x — 6y = 3
x — 2y = 1

Перепроверим второе уравнение:
10x + y = 10y + x + 36
9x — 9y = 36
x — y = 4

Теперь решим систему:
x — 2y = 1
x — y = 4

Вычтем первое уравнение из второго:
(x — y) — (x — 2y) = 4 — 1
x — y — x + 2y = 3
y = 3

Подставим y = 3 во второе уравнение:
x — 3 = 4
x = 7

Проверим первое условие:
Число 73. Сумма цифр 7 + 3 = 10.
73 : 10 = 7 (остаток 3). Это верно.

Проверим второе условие:
При перестановке цифр получается 37.
73 — 37 = 36. Это верно.

Ответ: 73

Условие: Найти двузначное число по условиям деления на сумму цифр и перестановки цифр.

Решение:
Пусть искомое двузначное число имеет вид \(10x + y\), где \(x\) — цифра десятков, а \(y\) — цифра единиц.
По условию, при делении числа на сумму его цифр в частном получается 7, а в остатке 3. Это можно записать как:
\(10x + y = 7(x + y) + 3\)

При перестановке цифр получается число \(10y + x\), которое меньше искомого на 36. Это можно записать как:
\(10x + y = (10y + x) + 36\)

Теперь составим систему уравнений:
1)
\(10x + y = 7(x + y) + 3\)
2)
\(10x + y = 10y + x + 36\)

Раскроем скобки и упростим первое уравнение:
\(10x + y = 7x + 7y + 3\)
\(10x — 7x + y — 7y = 3\)
\(3x — 6y = 3\)
Разделим обе части на 3:
\(x — 2y = 1\) (Уравнение 1′)

Упростим второе уравнение:
\(10x — x + y — 10y = 36\)
\(9x — 9y = 36\)
Разделим обе части на 9:
\(x — y = 4\) (Уравнение 2′)

Теперь решим систему из двух уравнений с двумя неизвестными:
1′)
\(x — 2y = 1\)
2′)
\(x — y = 4\)

Выразим \(x\) из уравнения 2′:
\(x = y + 4\)

Подставим это выражение для \(x\) в уравнение 1′:
\((y + 4) — 2y = 1\)
\(4 — y = 1\)
\(y = 4 — 1\)
\(y = 3\)

Теперь найдем \(x\), подставив значение \(y\) в выражение для \(x\):
\(x = y + 4\)
\(x = 3 + 4\)
\(x = 7\)

Таким образом, цифра десятков \(x = 7\), а цифра единиц \(y = 3\).
Искомое число равно \(10x + y = 10(7) + 3 = 70 + 3 = 73\).

Проверим условия:
Сумма цифр: \(7 + 3 = 10\).
Деление числа на сумму цифр: \(73 \div 10 = 7\) с остатком \(3\). (Верно)
Число с переставленными цифрами: \(37\).
Разница между исходным числом и числом с переставленными цифрами: \(73 — 37 = 36\). (Верно)

Ответ: 73