ГДЗ по Алгебре 7 Класс Итоговое Повторение Номер 105 Мордкович — Подробные Ответы

Когда каждую из сторон прямоугольника увеличили на 2 см, оказалось, что площадь прямоугольника увеличилась на 16 \(см^2\). Найдите стороны заданного прямоугольника, если известно, что они выражаются целыми числами (в сантиметрах).

Пусть стороны заданного прямоугольника равны \(a\) и \(b\).
Площадь заданного прямоугольника равна \(S = ab\).
Когда стороны увеличили на 2 см, новые стороны стали \(a+2\) и \(b+2\).
Новая площадь равна \(S’ = (a+2)(b+2)\).
Площадь увеличилась на 16 см\(^2\), то есть \(S’ — S = 16\).
\( (a+2)(b+2) — ab = 16 \)
\( ab + 2a + 2b + 4 — ab = 16 \)
\( 2a + 2b + 4 = 16 \)
\( 2a + 2b = 12 \)
\( a + b = 6 \)
Так как стороны выражаются целыми числами, возможны следующие пары \(a\) и \(b\) (считая, что \(a \le b\)):
Если \(a=1\), то \(b=5\). Проверим: \( (1+2)(5+2) — 1 \cdot 5 = 3 \cdot 7 — 5 = 21 — 5 = 16 \).
Если \(a=2\), то \(b=4\). Проверим: \( (2+2)(4+2) — 2 \cdot 4 = 4 \cdot 6 — 8 = 24 — 8 = 16 \).
Если \(a=3\), то \(b=3\). Проверим: \( (3+2)(3+2) — 3 \cdot 3 = 5 \cdot 5 — 9 = 25 — 9 = 16 \).
Ответ: 1 см и 5 см, или 2 см и 4 см, или 3 см и 3 см

Условие: Стороны прямоугольника увеличили на 2 см, площадь увеличилась на 16 см². Стороны — целые числа.

Решение:
Пусть стороны исходного прямоугольника равны \(a\) и \(b\).
Площадь исходного прямоугольника равна \(S_1 = a \cdot b\).
Стороны нового прямоугольника равны \(a+2\) и \(b+2\).
Площадь нового прямоугольника равна \(S_2 = (a+2)(b+2)\).
По условию, \(S_2 = S_1 + 16\).
Подставим выражения для площадей:
\( (a+2)(b+2) = a \cdot b + 16 \)
Раскроем скобки в левой части:
\( ab + 2a + 2b + 4 = ab + 16 \)
Вычтем \(ab\) из обеих частей уравнения:
\( 2a + 2b + 4 = 16 \)
Вычтем 4 из обеих частей уравнения:
\( 2a + 2b = 12 \)
Разделим обе части уравнения на 2:
\( a + b = 6 \)
Так как \(a\) и \(b\) — стороны прямоугольника, они должны быть положительными целыми числами.
Возможные пары целых положительных чисел для \(a\) и \(b\), сумма которых равна 6:
Если \(a=1\), то \(b=5\). Стороны: 1 см и 5 см.
Если \(a=2\), то \(b=4\). Стороны: 2 см и 4 см.
Если \(a=3\), то \(b=3\). Стороны: 3 см и 3 см (квадрат).
Проверим каждую пару:
Пара 1: Стороны 1 см и 5 см. Площадь \(1 \cdot 5 = 5\) см². Новые стороны: \(1+2=3\) см и \(5+2=7\) см. Новая площадь: \(3 \cdot 7 = 21\) см². Разница площадей: \(21 — 5 = 16\) см². Это подходит.
Пара 2: Стороны 2 см и 4 см. Площадь \(2 \cdot 4 = 8\) см². Новые стороны: \(2+2=4\) см и \(4+2=6\) см. Новая площадь: \(4 \cdot 6 = 24\) см². Разница площадей: \(24 — 8 = 16\) см². Это подходит.
Пара 3: Стороны 3 см и 3 см. Площадь \(3 \cdot 3 = 9\) см². Новые стороны: \(3+2=5\) см и \(3+2=5\) см. Новая площадь: \(5 \cdot 5 = 25\) см². Разница площадей: \(25 — 9 = 16\) см². Это подходит.

Ответ: Стороны заданного прямоугольника могут быть 1 см и 5 см, или 2 см и 4 см, или 3 см и 3 см.