Задачник по алгебре для 7-го класса, написанный Мордковичем и Александровым, является важным инструментом в обучении математике. Этот учебный материал ориентирован на развитие логического мышления и навыков решения задач у школьников. В данном обзоре мы рассмотрим основные особенности и преимущества этого задачника.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Итоговое Повторение Номер 106 Мордкович — Подробные Ответы
Скорый поезд проходит за 5 ч на 40 км больше, чем пассажирский за 6 ч. Найдите их скорости, \(v_1\) км/ч и \(v_2\) км/ч соответственно, если известно, что числа \(v_1\) и \(v_2\) делятся на 10 и оба меньше 100, но больше 50.
а) Пусть \( v_1 \) — скорость скорого поезда, а \( v_2 \) — скорость пассажирского поезда.
Скорости \( v_1 \) и \( v_2 \) делятся на 10, \( 50 < v_1 < 100 \) и \( 50 < v_2 < 100 \).
Возможные значения для \( v_1 \) и \( v_2 \): 60, 70, 80, 90.
Расстояние, пройденное скорым поездом за 5 часов: \( S_1 = 5 \cdot v_1 \)
Расстояние, пройденное пассажирским поездом за 6 часов: \( S_2 = 6 \cdot v_2 \)
По условию задачи: \( S_1 = S_2 + 40 \)
\( 5 \cdot v_1 = 6 \cdot v_2 + 40 \)
Проверим возможные пары \( (v_1, v_2) \) из множества {60, 70, 80, 90}:
Если \( v_1 = 60 \): \( 5 \cdot 60 = 300 \). \( 6 \cdot v_2 + 40 = 300 \Rightarrow 6 \cdot v_2 = 260 \Rightarrow v_2 = 260/6 \) (не целое)
Если \( v_1 = 70 \): \( 5 \cdot 70 = 350 \). \( 6 \cdot v_2 + 40 = 350 \Rightarrow 6 \cdot v_2 = 310 \Rightarrow v_2 = 310/6 \) (не целое)
Если \( v_1 = 80 \): \( 5 \cdot 80 = 400 \). \( 6 \cdot v_2 + 40 = 400 \Rightarrow 6 \cdot v_2 = 360 \Rightarrow v_2 = 60 \).
Проверяем условия: \( v_1 = 80 \) делится на 10, \( 50 < 80 < 100 \). \( v_2 = 60 \) делится на 10, \( 50 < 60 < 100 \). Это подходит.
Если \( v_1 = 90 \): \( 5 \cdot 90 = 450 \). \( 6 \cdot v_2 + 40 = 450 \Rightarrow 6 \cdot v_2 = 410 \Rightarrow v_2 = 410/6 \) (не целое)
Таким образом, \( v_1 = 80 \) км/ч и \( v_2 = 60 \) км/ч.
Ответ: \( v_1 = 80, v_2 = 60 \)
Условие: Скорый поезд проходит за 5 ч на 40 км больше, чем пассажирский за 6 ч. Скорости v1 и v2 делятся на 10, меньше 100 и больше 50.
Решение:
Пусть \( v_1 \) — скорость скорого поезда (км/ч), а \( v_2 \) — скорость пассажирского поезда (км/ч).
Расстояние, пройденное скорым поездом за 5 часов: \( S_1 = 5 \cdot v_1 \)
Расстояние, пройденное пассажирским поездом за 6 часов: \( S_2 = 6 \cdot v_2 \)
По условию, скорый поезд проходит на 40 км больше: \( S_1 = S_2 + 40 \)
Подставляем выражения для расстояний: \( 5 \cdot v_1 = 6 \cdot v_2 + 40 \)
Известно, что \( v_1 \) и \( v_2 \) делятся на 10, оба меньше 100 и больше 50. Возможные значения для \( v_1 \) и \( v_2 \): 60, 70, 80, 90.
Проверим возможные пары \( (v_1, v_2) \) в уравнении \( 5 \cdot v_1 = 6 \cdot v_2 + 40 \).
Если \( v_2 = 60 \):
\( 5 \cdot v_1 = 6 \cdot 60 + 40 \)
\( 5 \cdot v_1 = 360 + 40 \)
\( 5 \cdot v_1 = 400 \)
\( v_1 = 400 / 5 \)
\( v_1 = 80 \)
Пара \( (v_1, v_2) = (80, 60) \) удовлетворяет всем условиям: скорости делятся на 10, меньше 100 и больше 50.
Проверим другие варианты для полноты:
Если \( v_2 = 70 \):
\( 5 \cdot v_1 = 6 \cdot 70 + 40 \)
\( 5 \cdot v_1 = 420 + 40 \)
\( 5 \cdot v_1 = 460 \)
\( v_1 = 460 / 5 \)
\( v_1 = 92 \)
\( v_1 = 92 \) не делится на 10.
Если \( v_2 = 80 \):
\( 5 \cdot v_1 = 6 \cdot 80 + 40 \)
\( 5 \cdot v_1 = 480 + 40 \)
\( 5 \cdot v_1 = 520 \)
\( v_1 = 520 / 5 \)
\( v_1 = 104 \)
\( v_1 = 104 \) больше 100.
Если \( v_2 = 90 \):
\( 5 \cdot v_1 = 6 \cdot 90 + 40 \)
\( 5 \cdot v_1 = 540 + 40 \)
\( 5 \cdot v_1 = 580 \)
\( v_1 = 580 / 5 \)
\( v_1 = 116 \)
\( v_1 = 116 \) больше 100.
Таким образом, единственная пара, удовлетворяющая всем условиям, это \( v_1 = 80 \) км/ч и \( v_2 = 60 \) км/ч.
Ответ: \(v_1\) = 80, \(v_2\) = 60
