ГДЗ по Алгебре 7 Класс Итоговое Повторение Номер 109 Мордкович — Подробные Ответы

а) \(\frac{4^3 \cdot (2^5)^2}{8^5}\);

б) \(\frac{6^4 \cdot 3^5}{9^4 \cdot 2^3}\);

в) \(\frac{27^6}{9^2 \cdot (3^4)^3}\);

г) \(\frac{10^3 \cdot (2^2)^5}{5^3 \cdot 8^2}\).

а) \(\frac{4^3 \cdot (2^5)^2}{8^5} = \frac{(2^2)^3 \cdot 2^{10}}{(2^3)^5} = \frac{2^6 \cdot 2^{10}}{2^{15}} = \frac{2^{16}}{2^{15}} = 2.\)

б) \(\frac{6^4 \cdot 3^5}{9^4 \cdot 2^3} = \frac{(3 \cdot 2)^4 \cdot 3^5}{(3^2)^4 \cdot 2^3} = \frac{3^4 \cdot 2^4 \cdot 3^5}{3^8 \cdot 2^3} = \frac{3^9 \cdot 2^4}{3^8 \cdot 2^3} = 3 \cdot 2 = 6.\)

в) \(\frac{27^6}{9^2 \cdot (3^4)^3} = \frac{(3^3)^6}{(3^2)^2 \cdot 3^{12}} = \frac{3^{18}}{3^4 \cdot 3^{12}} = \frac{3^{18}}{3^{16}} = 3^2 = 9.\)

г) \(\frac{10^3 \cdot (2^2)^5}{5^3 \cdot 8^2} = \frac{(2 \cdot 5)^3 \cdot 2^{10}}{5^3 \cdot (2^3)^2} = \frac{2^3 \cdot 5^3 \cdot 2^{10}}{5^3 \cdot 2^6} = \frac{2^{13} \cdot 5^3}{5^3 \cdot 2^6} = 2^7 = 128.\)

а) \(\frac{4^3 \cdot (2^5)^2}{8^5}\)

Начнём с представления всех чисел как степеней одного основания — в данном случае удобно использовать основание 2, так как 4 и 8 являются степенями двойки:
\(4 = 2^2\), \(8 = 2^3\).

Преобразуем числитель:
\(4^3 = (2^2)^3 = 2^{2 \cdot 3} = 2^6\),
\((2^5)^2 = 2^{5 \cdot 2} = 2^{10}\).
Произведение степеней с одинаковым основанием складывается в показателе:
\(2^6 \cdot 2^{10} = 2^{6 + 10} = 2^{16}\).

Преобразуем знаменатель:
\(8^5 = (2^3)^5 = 2^{3 \cdot 5} = 2^{15}\).

Теперь дробь принимает вид:
\(\frac{2^{16}}{2^{15}} = 2^{16 — 15} = 2^1 = 2\).

Ответ: \(2\).

б) \(\frac{6^4 \cdot 3^5}{9^4 \cdot 2^3}\)

Разложим составные числа на простые множители:
\(6 = 2 \cdot 3\), \(9 = 3^2\).

Числитель:
\(6^4 = (2 \cdot 3)^4 = 2^4 \cdot 3^4\),
умножаем на \(3^5\):
\(2^4 \cdot 3^4 \cdot 3^5 = 2^4 \cdot 3^{4 + 5} = 2^4 \cdot 3^9\).

Знаменатель:
\(9^4 = (3^2)^4 = 3^{8}\),
умножаем на \(2^3\):
\(3^8 \cdot 2^3\).

Теперь дробь:
\(\frac{2^4 \cdot 3^9}{2^3 \cdot 3^8}\).

Разделим степени с одинаковыми основаниями, вычитая показатели:
\(2^{4 — 3} \cdot 3^{9 — 8} = 2^1 \cdot 3^1 = 2 \cdot 3 = 6\).

Ответ: \(6\).

в) \(\frac{27^6}{9^2 \cdot (3^4)^3}\)

Все числа — степени тройки:
\(27 = 3^3\), \(9 = 3^2\).

Числитель:
\(27^6 = (3^3)^6 = 3^{18}\).

Знаменатель:
\(9^2 = (3^2)^2 = 3^4\),
\((3^4)^3 = 3^{12}\),
произведение: \(3^4 \cdot 3^{12} = 3^{16}\).

Дробь:
\(\frac{3^{18}}{3^{16}} = 3^{18 — 16} = 3^2 = 9\).

Ответ: \(9\).

г) \(\frac{10^3 \cdot (2^2)^5}{5^3 \cdot 8^2}\)

Разложим составные числа:
\(10 = 2 \cdot 5\), \(8 = 2^3\).

Числитель:
\(10^3 = (2 \cdot 5)^3 = 2^3 \cdot 5^3\),
\((2^2)^5 = 2^{10}\),
вместе: \(2^3 \cdot 5^3 \cdot 2^{10} = 2^{13} \cdot 5^3\).

Знаменатель:
\(5^3\) остаётся,
\(8^2 = (2^3)^2 = 2^6\),
вместе: \(5^3 \cdot 2^6\).

Дробь:
\(\frac{2^{13} \cdot 5^3}{2^6 \cdot 5^3}\).

Сокращаем одинаковые множители:
\(2^{13 — 6} \cdot 5^{3 — 3} = 2^7 \cdot 5^0 = 2^7 \cdot 1 = 128\).

Ответ: \(128\).