Задачник по алгебре для 7-го класса, написанный Мордковичем и Александровым, является важным инструментом в обучении математике. Этот учебный материал ориентирован на развитие логического мышления и навыков решения задач у школьников. В данном обзоре мы рассмотрим основные особенности и преимущества этого задачника.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Итоговое Повторение Номер 112 Мордкович — Подробные Ответы
а) \(\frac{2 \cdot 3^{20} — 5 \cdot 3^{19}}{9^9}\);
б) \(\frac{(3 \cdot 2^{20} + 7 \cdot 2^{19}) \cdot 52}{(13 \cdot 8^4)^2}\);
в) \(\frac{108 \cdot 6^7 — 108 \cdot 6^6}{216^3 — 36^4}\);
г) \(\frac{(3^{15} + 3^{13}) \cdot 2^9}{(3^{14} + 3^{12}) \cdot 1024}\).
а)
\[
\frac{2 \cdot 3^{20} — 5 \cdot 3^{19}}{9^9}
= \frac{3^{19} \cdot (2 \cdot 3 — 5)}{(3^2)^9}
= \frac{3^{19} \cdot (6 — 5)}{3^{18}}
= \frac{3^{19}}{3^{18}}
= 3^1 = 3.
\]
б)
\[
\frac{(3 \cdot 2^{20} + 7 \cdot 2^{19}) \cdot 52}{(13 \cdot 8^4)^2}
= \frac{2^{19} \cdot (3 \cdot 2 + 7) \cdot 52}{13^2 \cdot (2^3)^8}
= \frac{2^{19} \cdot 13 \cdot 52}{13^2 \cdot 2^{24}}.
\]
Заметим: \(52 = 4 \cdot 13 = 2^2 \cdot 13\), тогда:
\[
= \frac{2^{19} \cdot 13 \cdot 2^2 \cdot 13}{13^2 \cdot 2^{24}}
= \frac{2^{21} \cdot 13^2}{13^2 \cdot 2^{24}}
= \frac{2^{21}}{2^{24}} = 2^{-3} = \frac{1}{8}.
\]
в)
\[
\frac{108 \cdot 6^7 — 108 \cdot 6^6}{216^3 — 36^4}
= \frac{108 \cdot 6^6 \cdot 5}{6^9 — 6^8}.
\]
Вынесем общий множитель в знаменателе:
\[
6^9 — 6^8 = 6^8(6 — 1) = 6^8 \cdot 5.
\]
Тогда:
\[
\frac{108 \cdot 6^6 \cdot 5}{6^8 \cdot 5}
= \frac{108}{6^2}
= \frac{108}{36}
= 3.
\]
г)
\[
\frac{(3^{15} + 3^{13}) \cdot 2^9}{(3^{14} + 3^{12}) \cdot 1024}
= \frac{3^{13}(3^2 + 1) \cdot 2^9}{3^{12}(3^2 + 1) \cdot 2^{10}}
= \frac{3^{13} \cdot 10 \cdot 2^9}{3^{12} \cdot 10 \cdot 2^{10}}.
\]
Сократим \(10\), \(3^{12}\) и \(2^9\):
\[
= \frac{3}{2} = 1{,}5.
\]
а)
\[
\frac{2 \cdot 3^{20} — 5 \cdot 3^{19}}{9^9}
\]
Шаг 1. Вынесем общий множитель в числителе.
Обе степени содержат \(3^{19}\), так как \(3^{20} = 3^{19} \cdot 3\). Выносим \(3^{19}\):
\[
2 \cdot 3^{20} — 5 \cdot 3^{19} = 3^{19}(2 \cdot 3 — 5) = 3^{19}(6 — 5) = 3^{19} \cdot 1 = 3^{19}.
\]
Шаг 2. Преобразуем знаменатель.
Заметим, что \(9 = 3^2\), поэтому:
\[
9^9 = (3^2)^9 = 3^{18}.
\]
Шаг 3. Подставим в дробь:
\[
\frac{3^{19}}{3^{18}} = 3^{19 — 18} = 3^1 = 3.
\]
Ответ: \(3\).
б)
\[
\frac{(3 \cdot 2^{20} + 7 \cdot 2^{19}) \cdot 52}{(13 \cdot 8^4)^2}
\]
Шаг 1. Упростим числитель.
Вынесем общий множитель \(2^{19}\) из скобок:
\[
3 \cdot 2^{20} + 7 \cdot 2^{19} = 2^{19}(3 \cdot 2 + 7) = 2^{19}(6 + 7) = 2^{19} \cdot 13.
\]
Теперь числитель:
\[
(2^{19} \cdot 13) \cdot 52.
\]
Шаг 2. Разложим 52:
\(52 = 4 \cdot 13 = 2^2 \cdot 13\).
Тогда числитель становится:
\[
2^{19} \cdot 13 \cdot 2^2 \cdot 13 = 2^{21} \cdot 13^2.
\]
Шаг 3. Упростим знаменатель.
Сначала заметим: \(8 = 2^3\), значит \(8^4 = (2^3)^4 = 2^{12}\).
Тогда:
\[
13 \cdot 8^4 = 13 \cdot 2^{12},
\]
и возводим в квадрат:
\[
(13 \cdot 2^{12})^2 = 13^2 \cdot 2^{24}.
\]
Шаг 4. Составим дробь:
\[
\frac{2^{21} \cdot 13^2}{13^2 \cdot 2^{24}} = \frac{2^{21}}{2^{24}} = 2^{-3} = \frac{1}{8}.
\]
Ответ: \(\frac{1}{8}\).
в)
\[
\frac{108 \cdot 6^7 — 108 \cdot 6^6}{216^3 — 36^4}
\]
Шаг 1. Вынесем общий множитель в числителе.
Оба слагаемых содержат \(108 \cdot 6^6\):
\[
108 \cdot 6^7 — 108 \cdot 6^6 = 108 \cdot 6^6 (6 — 1) = 108 \cdot 6^6 \cdot 5.
\]
Шаг 2. Преобразуем знаменатель.
Заметим:
— \(216 = 6^3\), значит \(216^3 = (6^3)^3 = 6^9\);
— \(36 = 6^2\), значит \(36^4 = (6^2)^4 = 6^8\).
Таким образом, знаменатель:
\[
6^9 — 6^8.
\]
Вынесем общий множитель \(6^8\):
\[
6^9 — 6^8 = 6^8(6 — 1) = 6^8 \cdot 5.
\]
Шаг 3. Подставим в дробь:
\[
\frac{108 \cdot 6^6 \cdot 5}{6^8 \cdot 5} = \frac{108 \cdot 6^6}{6^8} = \frac{108}{6^2} = \frac{108}{36} = 3.
\]
Ответ: \(3\).
г)
\[
\frac{(3^{15} + 3^{13}) \cdot 2^9}{(3^{14} + 3^{12}) \cdot 1024}
\]
Шаг 1. Вынесем общие множители в числителе и знаменателе.
В числителе: \(3^{13}\) — наименьшая степень:
\[
3^{15} + 3^{13} = 3^{13}(3^2 + 1) = 3^{13}(9 + 1) = 3^{13} \cdot 10.
\]
В знаменателе: \(3^{12}\) — наименьшая степень:
\[
3^{14} + 3^{12} = 3^{12}(3^2 + 1) = 3^{12} \cdot 10.
\]
Шаг 2. Заменим 1024.
Известно, что \(1024 = 2^{10}\).
Шаг 3. Подставим всё в дробь:
\[
\frac{3^{13} \cdot 10 \cdot 2^9}{3^{12} \cdot 10 \cdot 2^{10}}.
\]
Шаг 4. Сократим одинаковые множители:
— \(10\) сокращается;
— \(3^{13}:3^{12} = 3\);
— \(2^9 : 2^{10} = 1/2\).
Остаётся:
\[
\frac{3}{2} = 1{,}5.
\]
Ответ: \(1{,}5\).
