ГДЗ по Алгебре 7 Класс Итоговое Повторение Номер 116 Мордкович — Подробные Ответы

а) Представьте число 100 в виде произведения квадратов двух натуральных чисел, б) Представьте число 216 в виде произведения кубов двух натуральных чисел.

а)
\( 100 = 10^2 = (2 \cdot 5)^2 = 2^2 \cdot 5^2 \)
\( 100 = 100 \cdot 1^2 \)
\( 100 = 25 \cdot 4 = 5^2 \cdot 2^2 \)

Ответ: \( 100 = 10^2 \cdot 1^2 \) или \( 100 = 5^2 \cdot 2^2 \)

б)
\( 216 = 6^3 = (2 \cdot 3)^3 = 2^3 \cdot 3^3 \)
\( 216 = 216 \cdot 1^3 \)
\( 216 = 27 \cdot 8 = 3^3 \cdot 2^3 \)

Ответ: \( 216 = 6^3 \cdot 1^3 \) или \( 216 = 3^3 \cdot 2^3 \)

а) Разложение числа 100

Число 100 — это полный квадрат, так как \(10 \cdot 10 = 100\). Поэтому его можно записать как:

\[
100 = 10^2.
\]

Теперь разложим основание степени \(10\) на простые множители. Известно, что:

\[
10 = 2 \cdot 5.
\]

Подставим это в выражение:

\[
10^2 = (2 \cdot 5)^2.
\]

По свойству степеней \((ab)^n = a^n \cdot b^n\), получаем:

\[
(2 \cdot 5)^2 = 2^2 \cdot 5^2.
\]

Таким образом, число 100 можно представить как произведение квадратов простых чисел:

\[
100 = 2^2 \cdot 5^2.
\]

Это же можно проверить напрямую:
\(2^2 = 4\), \(5^2 = 25\), \(4 \cdot 25 = 100\).

Кроме того, любое число можно умножить на \(1\) в любой степени, не изменив его значение. Например:

\[
100 = 100 \cdot 1^2,
\]

поскольку \(1^2 = 1\), и умножение на 1 ничего не меняет.

Альтернативно, можно выделить другие пары множителей, дающих 100. Например:
\[
100 = 25 \cdot 4 = 5^2 \cdot 2^2,
\]

что совпадает с уже полученным разложением.

Итак, число 100 допускает несколько эквивалентных записей в виде произведения степеней:
— как квадрат составного числа: \(10^2\),
— как произведение квадратов простых чисел: \(2^2 \cdot 5^2\),
— или с тривиальным множителем \(1^2\): \(100 \cdot 1^2\).

Наиболее содержательными с точки зрения математики являются записи, использующие простые множители, поскольку они отражают структуру числа.

Ответ: \(100 = 10^2 \cdot 1^2\) или \(100 = 5^2 \cdot 2^2\).

б) Разложение числа 216

Число 216 является полным кубом, так как \(6 \cdot 6 \cdot 6 = 216\). Следовательно:

\[
216 = 6^3.
\]

Разложим основание \(6\) на простые множители:

\[
6 = 2 \cdot 3.
\]

Тогда:

\[
6^3 = (2 \cdot 3)^3.
\]

Применяя правило возведения произведения в степень, получаем:

\[
(2 \cdot 3)^3 = 2^3 \cdot 3^3.
\]

Проверим:
\(2^3 = 8\), \(3^3 = 27\), \(8 \cdot 27 = 216\) — верно.

Как и в предыдущем случае, можно добавить тривиальный множитель \(1^3\), так как \(1^3 = 1\):

\[
216 = 216 \cdot 1^3.
\]

Также можно выразить 216 как произведение других кубов:
\[
216 = 27 \cdot 8 = 3^3 \cdot 2^3,
\]

что полностью совпадает с разложением на простые множители.

Таким образом, число 216 можно записать несколькими способами:
— как куб составного числа: \(6^3\),
— как произведение кубов простых чисел: \(2^3 \cdot 3^3\),
— или с единицей: \(216 \cdot 1^3\).

Наиболее информативной является запись через простые множители, так как она однозначна (согласно основной теореме арифметики).

Ответ: \(216 = 6^3 \cdot 1^3\) или \(216 = 3^3 \cdot 2^3\).