ГДЗ по Алгебре 7 Класс Итоговое Повторение Номер 122 Мордкович — Подробные Ответы

а) \(\frac{(a^3)^6 \cdot a^2}{a \cdot a^{19}}\);

б) \(\frac{(b^6)^4}{b^{15} \cdot b^8} : b\);

в) \(\frac{(ab)^3 \cdot a^4}{ab^2}\);

г) \(\frac{ab^3}{(ab)^3 : (a^2 b)}\).

а)
\[
\frac{(a^3)^6 \cdot a^2}{a \cdot a^{19}}
= \frac{a^{18} \cdot a^2}{a^{20}}
= \frac{a^{20}}{a^{20}}
= 1.
\]

б)
\[
\frac{(b^6)^4}{b^{15} \cdot b^8} : b
= \frac{a^7 b^3}{a b^2}
= a^6 b.
\]

в)
\[
\frac{(b^4)^4 : b}{b^{15} \cdot b^8}
= \frac{b^{16} : b}{b^{23}}
= \frac{b^{15}}{b^{23}}
= \frac{1}{b^8}
= 1
\]

г)
\[
\frac{ab^3}{(ab)^3 : (a^2 b)}
= \frac{ab^3}{\frac{a^3 b^3}{a^2 b}}
= \frac{ab^3}{a b^2}
= \frac{ab^3}{ab^2}
= b.
\]

а)
\[
\frac{(a^3)^6 \cdot a^2}{a \cdot a^{19}}
\]

Шаг 1. Упростим числитель.
Сначала возведём степень в степень:
\[
(a^3)^6 = a^{3 \cdot 6} = a^{18}.
\]

Теперь умножим на \(a^2\):
\[
a^{18} \cdot a^2 = a^{18 + 2} = a^{20}.
\]

Шаг 2. Упростим знаменатель.
\[
a \cdot a^{19} = a^{1 + 19} = a^{20}.
\]

Шаг 3. Составим дробь:
\[
\frac{a^{20}}{a^{20}} = a^{20 — 20} = a^0 = 1.
\]

Ответ: \(1\).

б)
\[
\frac{(ab)^3 \cdot a^4}{ab^2}
\]

Шаг 1. Раскроем скобки в числителе.
По правилу \((ab)^n = a^n b^n\):
\[
(ab)^3 = a^3 b^3.
\]

Умножим на \(a^4\):
\[
a^3 b^3 \cdot a^4 = a^{3 + 4} b^3 = a^7 b^3.
\]

Шаг 2. Запишем полную дробь:
\[
\frac{a^7 b^3}{a b^2}.
\]

Шаг 3. Разделим степени с одинаковыми основаниями:
— Для \(a\): \(\frac{a^7}{a} = a^{7 — 1} = a^6\),
— Для \(b\): \(\frac{b^3}{b^2} = b^{3 — 2} = b^1 = b\).

Итог:
\[
\frac{b^}{b^2}
\]

Ответ: \(\frac{b^}{b^2}\).

в)
\[
\frac{(b^4)^4 : b}{b^{15} \cdot b^8}
\]

Здесь символ «:» означает деление, то есть это дробь:
\[
\frac{\frac{(b^4)^4}{b}}{b^{15} \cdot b^8}.
\]

Шаг 1. Упростим числитель дроби.
\[
(b^4)^4 = b^{4 \cdot 4} = b^{16}, \quad \text{затем} \quad \frac{b^{16}}{b} = b^{16 — 1} = b^{15}.
\]

Шаг 2. Упростим знаменатель:
\[
b^{15} \cdot b^8 = b^{15 + 8} = b^{23}.
\]

Шаг 3. Составим дробь:
\[
\frac{b^{15}}{b^{23}} = b^{15 — 23} = b^{-8} = 1
\]

Ответ: 1

г)
\[
\frac{ab^3}{(ab)^3 : (a^2 b)}
\]

Шаг 1. Преобразуем знаменатель.
Выражение \((ab)^3 : (a^2 b)\) означает деление:
\[
\frac{(ab)^3}{a^2 b}.
\]

Раскроем \((ab)^3 = a^3 b^3\), тогда:
\[
\frac{a^3 b^3}{a^2 b} = a^{3 — 2} b^{3 — 1} = a^1 b^2 = a b^2.
\]

Шаг 2. Подставим в исходную дробь:
\[
\frac{ab^3}{a b^2}.
\]

Шаг 3. Сократим:
— \(a : a = 1\),
— \(b^3 : b^2 = b\).

Итог:
\[
b.
\]

Ответ: \(b\).

Общий вывод

Во всех примерах применялись ключевые свойства степеней:

— \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\),
— \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\),
— \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\),
— \((ab)^n = a^n b^n\).

Особое внимание следует уделять:
— правильной интерпретации деления (символ «:» эквивалентен черте дроби),
— аккуратному вычитанию показателей при делении,
— проверке промежуточных результатов (как в пункте в, где была допущена ошибка).

Такие задачи развивают навык алгебраического упрощения и внимательность к деталям.