ГДЗ по Алгебре 7 Класс Итоговое Повторение Номер 143 Мордкович — Подробные Ответы

Докажите тождество: а) (х — 5)2 — (х — 7)(х — 3) = 4; б) (х + 3)(x- 3) — (х — 9)(x + 1) = 8x; в) (х — 11)(x — 1) — (х + 6)2 = -25; г) (х + 1)(x — 4) — (х — 2)(х + 2) = -3x.

а)
\( (x — 5)^2 — (x — 7)(x — 3) = 4 \)
\( (x^2 — 10x + 25) — (x^2 — 3x — 7x + 21) \)
\( (x^2 — 10x + 25) — (x^2 — 10x + 21) \)
\( x^2 — 10x + 25 — x^2 + 10x — 21 \)
\( (x^2 — x^2) + (-10x + 10x) + (25 — 21) \)
\( 0 + 0 + 4 \)
\( 4 \)

Ответ: 4

б)
\( (x + 3)(x — 3) — (x — 9)(x + 1) = 8x \)
\( (x^2 — 3^2) — (x^2 + x — 9x — 9) \)
\( (x^2 — 9) — (x^2 — 8x — 9) \)
\( x^2 — 9 — x^2 + 8x + 9 \)
\( (x^2 — x^2) + (-9 + 9) + 8x \)
\( 0 + 0 + 8x \)
\( 8x \)

Ответ: 8x

в)
\( (x — 11)(x — 1) — (x + 6)^2 = -25 \)
\( (x^2 — x — 11x + 11) — (x^2 + 12x + 36) \)
\( (x^2 — 12x + 11) — (x^2 + 12x + 36) \)
\( x^2 — 12x + 11 — x^2 — 12x — 36 \)
\( (x^2 — x^2) + (-12x — 12x) + (11 — 36) \)
\( 0 — 24x — 25 \)
\( -24x — 25 \)
В данном случае, тождество не доказано, так как левая часть не равна правой. Возможно, в условии опечатка и должно быть \( (x — 11)(x — 1) — (x — 6)^2 = -25 \) или \( (x — 11)(x + 1) — (x + 6)^2 = -25 \).
Если же условие верное, то это не тождество.
Предположим, что в условии опечатка и должно быть \( (x — 11)(x — 1) — (x — 6)^2 = -25 \).
\( (x^2 — x — 11x + 11) — (x^2 — 12x + 36) \)
\( (x^2 — 12x + 11) — (x^2 — 12x + 36) \)
\( x^2 — 12x + 11 — x^2 + 12x — 36 \)
\( (x^2 — x^2) + (-12x + 12x) + (11 — 36) \)
\( 0 + 0 — 25 \)
\( -25 \)

Ответ: -25 (при условии, что в задании опечатка и вместо \( (x+6)^2 \) должно быть \( (x-6)^2 \))

г)
\( (x + 1)(x — 4) — (x — 2)(x + 2) = -3x \)
\( (x^2 — 4x + x — 4) — (x^2 — 2^2) \)
\( (x^2 — 3x — 4) — (x^2 — 4) \)
\( x^2 — 3x — 4 — x^2 + 4 \)
\( (x^2 — x^2) + (-3x) + (-4 + 4) \)
\( 0 — 3x + 0 \)
\( -3x \)

Ответ: -3x

Условие: Докажите тождество:
а)
\( (х — 5)^2 — (х — 7)(х — 3) = 4 \)
б)
\( (х + 3)(x — 3) — (х — 9)(x + 1) = 8x \)
в)
\( (х — 11)(x — 1) — (х + 6)^2 = -25 \)
г)
\( (х + 1)(x — 4) — (х — 2)(х + 2) = -3x \)

Решение:

а) Докажем тождество \( (х — 5)^2 — (х — 7)(х — 3) = 4 \)
Преобразуем левую часть:
\( (х — 5)^2 — (х — 7)(х — 3) \)
Раскроем квадрат разности: \( (х — 5)^2 = x^2 — 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = x^2 — 10x + 25 \)
Раскроем произведение двух скобок: \( (х — 7)(х — 3) = x \cdot x + x \cdot (-3) + (-7) \cdot x + (-7) \cdot (-3) = x^2 — 3x — 7x + 21 = x^2 — 10x + 21 \)
Подставим полученные выражения обратно:
\( (x^2 — 10x + 25) — (x^2 — 10x + 21) \)
Раскроем скобки, меняя знаки во второй:
\( x^2 — 10x + 25 — x^2 + 10x — 21 \)
Приведем подобные слагаемые:
\( (x^2 — x^2) + (-10x + 10x) + (25 — 21) \)
\( 0 + 0 + 4 \)
\( 4 \)
Левая часть равна правой части.

б) Докажем тождество \( (х + 3)(x — 3) — (х — 9)(x + 1) = 8x \)
Преобразуем левую часть:
\( (х + 3)(x — 3) — (х — 9)(x + 1) \)
Раскроем произведение как разность квадратов: \( (х + 3)(x — 3) = x^2 — 3^2 = x^2 — 9 \)
Раскроем произведение двух скобок: \( (х — 9)(x + 1) = x \cdot x + x \cdot 1 + (-9) \cdot x + (-9) \cdot 1 = x^2 + x — 9x — 9 = x^2 — 8x — 9 \)
Подставим полученные выражения обратно:
\( (x^2 — 9) — (x^2 — 8x — 9) \)
Раскроем скобки, меняя знаки во второй:
\( x^2 — 9 — x^2 + 8x + 9 \)
Приведем подобные слагаемые:
\( (x^2 — x^2) + 8x + (-9 + 9) \)
\( 0 + 8x + 0 \)
\( 8x \)
Левая часть равна правой части.

в) Докажем тождество \( (х — 11)(x — 1) — (х + 6)^2 = -25 \)
Примечание: В условии задачи, вероятно, допущена опечатка, и вместо \( (х + 6)^2 \) должно быть \( (х — 6)^2 \), чтобы тождество выполнялось. Решим задачу, предполагая, что это \( (х — 6)^2 \).
Преобразуем левую часть:
\( (х — 11)(x — 1) — (х — 6)^2 \)
Раскроем произведение двух скобок: \( (х — 11)(x — 1) = x \cdot x + x \cdot (-1) + (-11) \cdot x + (-11) \cdot (-1) = x^2 — x — 11x + 11 = x^2 — 12x + 11 \)
Раскроем квадрат разности: \( (х — 6)^2 = x^2 — 2 \cdot x \cdot 6 + 6^2 = x^2 — 12x + 36 \)
Подставим полученные выражения обратно:
\( (x^2 — 12x + 11) — (x^2 — 12x + 36) \)
Раскроем скобки, меняя знаки во второй:
\( x^2 — 12x + 11 — x^2 + 12x — 36 \)
Приведем подобные слагаемые:
\( (x^2 — x^2) + (-12x + 12x) + (11 — 36) \)
\( 0 + 0 — 25 \)
\( -25 \)
Левая часть равна правой части.

г) Докажем тождество \( (х + 1)(x — 4) — (х — 2)(х + 2) = -3x \)
Преобразуем левую часть:
\( (х + 1)(x — 4) — (х — 2)(х + 2) \)
Раскроем произведение двух скобок: \( (х + 1)(x — 4) = x \cdot x + x \cdot (-4) + 1 \cdot x + 1 \cdot (-4) = x^2 — 4x + x — 4 = x^2 — 3x — 4 \)
Раскроем произведение как разность квадратов: \( (х — 2)(х + 2) = x^2 — 2^2 = x^2 — 4 \)
Подставим полученные выражения обратно:
\( (x^2 — 3x — 4) — (x^2 — 4) \)
Раскроем скобки, меняя знаки во второй:
\( x^2 — 3x — 4 — x^2 + 4 \)
Приведем подобные слагаемые:
\( (x^2 — x^2) — 3x + (-4 + 4) \)
\( 0 — 3x + 0 \)
\( -3x \)
Левая часть равна правой части.

Ответ: Тождества доказаны.