Задачник по алгебре для 7-го класса, написанный Мордковичем и Александровым, является важным инструментом в обучении математике. Этот учебный материал ориентирован на развитие логического мышления и навыков решения задач у школьников. В данном обзоре мы рассмотрим основные особенности и преимущества этого задачника.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Итоговое Повторение Номер 154 Мордкович — Подробные Ответы
а) \[
x^{2} — y^{2} + 2x + 2y
\]
б) \[
p^{2} + pq^{2} — q^{2} — p^{2}q
\]
в) \[
3a — 3b — a^{2} + b^{2}
\]
г) \[
m^{3} — n^{2} — nm^{2} + m^{2}
\]
Краткий ответ:
а) \[
x^{2} — y^{2} + 2x + 2y = (x^{2} — y^{2}) + (2x + 2y)
\]
\[
= (x — y)(x + y) + 2(x + y)
\]
\[
= (x + y)(x — y + 2)
\]
б) \[
p^{2} + pq^{2} — q^{2} — p^{2}q = (p^{2} — q^{2}) + (pq^{2} — p^{2}q)
\]
\[
= (p — q)(p + q) + pq(q — p)
\]
\[
= (p — q)(p + q) — pq(p — q)
\]
\[
= (p — q)(p + q — pq)
\]
в) \[
3a — 3b — a^{2} + b^{2} = (3a — 3b) — (a^{2} — b^{2})
\]
\[
= 3(a — b) — (a — b)(a + b)
\]
\[
= (a — b)(3 — a — b)
\]
г) \[
m^{3} — n^{2} — nm^{2} + m^{2} = (m^{3} — nm^{2}) + (m^{2} — n^{2})
\]
\[
= m^{2}(m — n) + (m — n)(m + n)
\]
\[
= (m — n)(m^{2} + m + n)
\]
а) Группируем слагаемые так, чтобы можно было выделить общие множители. Сначала объединяем первые два слагаемых как разность квадратов, а последние два — выносим общий множитель 2:
\[
x^{2} — y^{2} + 2x + 2y = (x^{2} — y^{2}) + (2x + 2y)
\]
Применяем формулу разности квадратов $$a^{2} — b^{2} = (a — b)(a + b)$$ к первой группе и выносим общий множитель 2 из второй группы:
\[
= (x — y)(x + y) + 2(x + y)
\]
Замечаем общий множитель $$(x + y)$$ в обоих слагаемых и выносим его за скобки:
\[
= (x + y)(x — y + 2)
\]
б) Группируем слагаемые так, чтобы в каждой группе можно было выделить общие множители. Объединяем $$p^{2}$$ и $$-q^{2}$$, а также $$pq^{2}$$ и $$-p^{2}q$$:
\[
p^{2} + pq^{2} — q^{2} — p^{2}q = (p^{2} — q^{2}) + (pq^{2} — p^{2}q)
\]
К первой группе применяем формулу разности квадратов, из второй группы выносим общий множитель $$pq$$:
\[
= (p — q)(p + q) + pq(q — p)
\]
Замечаем, что $$(q — p) = -(p — q)$$. Меняем знак и переписываем второе слагаемое:
\[
= (p — q)(p + q) — pq(p — q)
\]
Выносим общий множитель $$(p — q)$$ за скобки:
\[
= (p — q)(p + q — pq)
\]
в) Группируем слагаемые: первые два содержат общий множитель 3, последние два — разность квадратов (с минусом перед скобкой):
\[
3a — 3b — a^{2} + b^{2} = (3a — 3b) — (a^{2} — b^{2})
\]
Из первой группы выносим общий множитель 3, ко второй группе применяем формулу разности квадратов:
\[
= 3(a — b) — (a — b)(a + b)
\]
Выносим общий множитель $$(a — b)$$ за скобки. Второе слагаемое в скобках получаем с минусом:
\[
= (a — b)(3 — (a + b))
\]
Раскрываем внутренние скобки:
\[
= (a — b)(3 — a — b)
\]
г) Переставляем слагаемые для удобной группировки: сначала члены с $$m^{3}$$ и $$-nm^{2}$$, затем $$m^{2}$$ и $$-n^{2}$$:
\[
m^{3} — n^{2} — nm^{2} + m^{2} = (m^{3} — nm^{2}) + (m^{2} — n^{2})
\]
Из первой группы выносим общий множитель $$m^{2}$$, ко второй группе применяем формулу разности квадратов:
\[
= m^{2}(m — n) + (m — n)(m + n)
\]
Выносим общий множитель $$(m — n)$$ за скобки:
\[
= (m — n)(m^{2} + m + n)
\]
Итоговые ответы:
а) $$(x + y)(x — y + 2)$$
б) $$(p — q)(p + q — pq)$$
в) $$(a — b)(3 — a — b)$$
г) $$(m — n)(m^{2} + m + n)$$
